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珠海市2013年9月高三摸底考试文科
数学试题及其答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
3．设 为虚数单位，则复数 等于（ ）
A． B． C． D．
4． 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．中心在原点的双曲线，一个焦点为 ，一个焦点到最近顶点的距离是 ，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A． B． C． D．
7．经过圆 的圆心且与直线 平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9.如右上图，在 中，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
10．用 表示非空集合 中元素的个数，定义 若 ， ，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 （ ） A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，考生作答4小题，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11.设等比数列 的公比 ，则 ．
12.直线 是函数 的切线，则实数 ．
13.在 中， ， ，且 的面积为 ，则边 的长为_________.
14．（几何证明选讲选做题）如右图，圆 的割线 交圆
于 、 两点，割线 经过圆心。已知 ，
， 。则圆 的半径 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，直线 （ ）被圆 截得的弦的长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本题满分12分）已知函数 ， ．
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
17. （本题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）：
高校 相关人数 抽取人数
A 18
B 36 2
C 54
（1）求 , ；
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，
求这2人都来自高校C的概率.
18．（本题满分14分）在边长为 的正方形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，现沿 折叠，使 三点重合，重合后的点记为B，构成一个三棱锥．
（1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明；
（2）证明 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积．
19．（本题满分14分）数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 成等差数列．
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意正整数 ，总有 ．
20．（本题满分14分）已知点 、 ，若动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹曲线 的方程；
（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线： 的距离最小．
21．（本题满分14分）已知函数 满足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ？若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
珠海市2013年9月高三摸底考试
试题与参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1.（集合）已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.（函数的奇偶性与单调性）下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
3．（复数的除法）设 为虚数单位，则复数 等于（ ）
A． B． C． D．
4．（三角函数） 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（圆锥曲线）中心在原点的双曲线，一个焦点为 ，一个焦点到最近顶点的距离是 ，则双曲线的方程是（ ）
A． B． C． D．
6．（三视图）如右图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的
正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（直线与圆）经过圆 的圆心且与直线 平行的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．（线性规划）已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
9.（向量）如右上图，在 中，点 是 边上靠近 的三等分点，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（信息题）用 表示非空集合 中元素的个数，定义
若 ， ，且 ，设实数 的所有可能取值构成集合 ，则 （ ） A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置.
11.（等比数列）设等比数列 的公比 ，则 ．
12.（导数）直线 是函数 的切线，则实数 ．
13.（解三角形）在 中， ， ，且 的面积为 ，则边 的长为___ ______.
14．（几何证明选讲选做题）如右图，圆 的割线 交圆
于 、 两点，割线 经过圆心。已知 ，
， 。则圆 的半径 ．
15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系 中，直线 （ ）被圆 截得的弦的长是 ．
三、解答题：本大题共6小题，12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（三角函数）已知函数 ，
（1）求 的值； （2）若 ，且 ，求 .
解: (1)
…………………………………………………………………………2分
(2)
因为 ，且 ，所以 ……………………………………11分
所以 ……………………12分
高校 相关人数 抽取人数
A 18
B 36 2
C 54
17.（概率）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）
（1）求 , ；
(2)若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，
求这2人都来自高校C的概率.
解: (1)由题意可得: ,即 ……………………………………………………………2分
,即 …………………………………………………………4分
(2)设事件 ：2人都来自高校C……………………………………………………………5分
记高校 的两人为 ，高校 的两人为
则选取2人的所包含的基本事件共有： ， ， ， ，
， ， ， ， ， 共有10种情况…………………9分
选取2人都来自高校C的所包含的基本事件有： ， ， 共3种情况……11分
所以 …………………………………………………………………12分
18．（立几）在边长为 的正方形 中， 分别为 的中点， 分别为 的中点，现沿 折叠，使 三点重合，重合后的点记为 ，构成一个三棱锥．
（1）请判断 与平面 的位置关系，并给出证明；
（2）证明 平面 ；
（3）求四棱锥 的体积．
解：（1） 平行平面 ……………………………………………………………………2分
证明：由题意可知点 在折叠前后都分别是 的中点（折叠后 两点重合）
所以 平行 …………………………………………………………………………………3分
因为 ，所以 平行平面 ………………………………………………5分
（2）证明：由题意可知 的关系在折叠前后都没有改变
因为在折叠前 ，由于折叠后 ，点 ，所以 …6分
因为 ，所以 平面 …………………………………10分
（3） …………………………………………………………11分
……………………………………………………………12分
………………………………………………13分
……………………………………………………………………………14分
19．（数列）数列 的各项均为正数， 为其前 项和，对于任意的 ，总有 成等差数列
(1)求 ；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设数列 的前 项和为 ，且 ，求证:对任意正整数 ，总有
解：（1）由已知：对于任意的 ，总有 成等差数列
……………………………………………………………………………2分
令 ， 即
又因为数列 的各项均为正数，所以 …………………………………………………4分
（2） ①
②……………………………………………………………………5分
由①-②得：
即 即
均为正数 ………………………………………7分
∴数列 是公差为1的等差数列
…………………………………………9分
（3） ………………………………10分
当 时， ……………………………………………………11分
当 时，
…………………………13分
所以对任意正整数 ，总有 ………………………………………………………………14分
20.（解几综合）已知点 、 ，若动点 满足 ．
（1）求动点 的轨迹曲线 的方程；
（2）在曲线 上求一点 ，使点 到直线： 的距离最小．
解：（1）设点 坐标为 ，则 ， ， ， .
因为 ，所以 ，化简得 .
所以动点 的轨迹为 ……………………………………………………………………6分
(2) 点 在 上，设点 坐标为 ， .…………………8分
记 到直线 的距离为
，……………………12分
当 时 有最小值 ，……………………………………………………………13分
此时点 坐标为 .………………………………………………………………14分
21．（导数综合）已知函数 满足 ， 且 在 上恒成立.
(1)求 的值；
(2)若 ,解不等式 ；
(3)是否存在实数 ，使函数 在区间 上有最小值 ？若存在，请求出实数 的值；若不存在，请说明理由.
解：（1） ；
……………………………………………1分
恒成立；
即 恒成立；
显然 时，上式不能恒成立；……………………………………………………2分
∴ ，由于对一切 则有：
，即 ，解得： ；…………………………………………3分
∴ ， ………………………………………………………………………………………4分
（2）
由 得： ；…………………………………5分
即 ，即 ；
∴当 ，…………………………………………………………………………6分
………………………………………………………7分
当 ……………………………………………………………8分
（3）假设存在实数 使函数 在区间 上有最小值－5.
图象开口向上且对称轴为
①当 ，此时函数 在区间 上是递增的；
解得 与 矛盾 ；………………………………………………10分 ②
当 ，此时函数 在区间 上是递减的，而在区间
上是递增的，
即
解得 ；
……………………………………………12分
③当 ，此时函数 在区间 上递减的；
即
解得 ,满足
综上知：当 时， 在 上有最小值－5………………………………14分
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