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中原名校2013－2014学年上学期期中联考
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，分别答在答题卷上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若集A＝{x｜－1≤2x＋1≤3}，B＝{x｜≤0}，则A∪B＝
A．{x｜－1≤x＜2} B．{x｜－1≤x≤2}
C．{x｜0≤x≤2} D．{x｜0≤x≤1}
2．设f（x）＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在（2，3）内近似解的过程中得
f（2．25）＜0，f（2．75）＞0，f（2．5）＜0，f（3）＞0，则方程的根落在区间
A．（2，2．25） B．（2．25，2．5）
C．（2．5，2．75） D．（2．75，3）
3．已知α，β为不重合的两个平面，直线mα，那么“m⊥β”是“α⊥β”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数f（x）＝Asin（ωx＋）（其中A＞0，ω＞0，｜｜＜）的图象如图所示，为
了得到g（x）＝sin2x的图象，则只需将f（x）的图象
A．向右平移个长度单位
B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位
D．向左平移个长度单位
5．已知{}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，为{}的前n项
和，n∈N﹡，则S10的值为
A．－110 B．－90 C．90 D．110
6．已知x＞0，y＞0，若恒成立，则实数m的取值范围是
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4
C．－2＜m＜4 D．－4＜m＜2
7．已知向量＝（cosθ，sinθ），向量＝（，－1）,则｜2－｜的最大值与最小值的和是
A．4 B．6 C．4 D．16
8．已知函数f（x）＝＋＋＋…＋＋（n＞2且n∈N﹡）设是函数f（x）的零点的最大值，则下述论断一定错误的是
A． B．＝0 C．＞0 D．＜0
9．给出下列四个命题：
①命题p：∈R，sinx≤1，则：∈R，sinx＜1．
②当a≥1时，不等式｜x－4｜＋｜x－3｜＜a的解集为非空．
③当x＞0时，有lnx＋≥2．
④设复数z满足（1－i）z＝2i，则z＝1－i．
其中真命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知F是双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为
A．（1，＋∞） B．（1，2） C．（1，1＋） D．（2，1＋）
11．已知＝，把数列{}的各项排列成如下的三角形状，
记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）＝
A． B． C． D．
12．在平面直角坐标系xOy中，点A（5，0），对于某个正实数k，存在函数f（x）＝a
（a＞0）．使得＝λ·（＋）（λ为常数），这里点P、Q的坐标分别为
P（1，f（1）），Q（k，f（k）），则k的取值范围为
A．（2，＋∞） B．（3，＋∞） C．[4，＋∞） D．[8，＋∞）
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．的展开式中常数项为___________________．
14．设z＝2x＋y，其中x，y满足，若z的最大值为6，则z的最小值为_________．
15．在平面直角坐标系中，记抛物线y＝x－与x轴所围成的平面区域为M，该抛物线与直线y＝kx（k＞0）所围成的平面区域为A，向区域M内随机抛掷一点P，若点P落在区域A内的概率为，则k的值为__________．
16．如图，在四边形ABCD中，＝λ（λ∈R），｜｜＝｜｜＝2，｜－｜＝2，且△BCD是以BC为斜边的直角三角形，则·的值为__________．
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知α，β为锐角，且sinα＝，tan（α－β）＝－．
求cosβ的值．
18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}满足－－2＝0，
n∈N﹡，且是a2，a4的等差中项．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）若＝，＝b1＋b2＋…＋，求的值．
19．（本小题满分12分）在△ABC中，A、B、C为三个内角，a、b、c为相应的三条边，
＜C＜，且＝．
（1）判断△ABC的形状；
（2）若｜＋｜＝2，求·的取值范围．
20．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝－（a＋2）x＋lnx.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f （1））处的切线方程；
（2）当a＞0时，若f（x）在区间[1，e）上的最小值为－2，求a的取值范围．
21．（本小题满分12分）已知A（－5，0），B（5，0），动点P满足｜｜，｜｜，
8成等差数列．
（1）求P点的轨迹方程；
（2）对于x轴上的点M，若满足｜｜·｜｜＝，则称点M为点P对应的“比例点”。问：对任意一个确定的点P，它总能对应几个“比例点”?
22．（本小题满分12分）设函数f（x）＝＋，g（x）＝ln（2ex）（其中e为自然对数
的底数）
（1）求y＝f（x）－g（x）（x＞0）的最小值；
（2）是否存在一次函数h（x）＝kx＋b使得f（x）≥h（x）且h（x）≥g（x）对一切
x＞0恒成立；若存在，求出一次函数的表达式，若不存在，说明理由：
（3）数列{}中，a1＝1，＝g（）（n≥2），求证：
＜＜＜1且＜．
中原名校2013—2014学年上学期期中联考
一．选择题
1---5 BCAAD 6---10 DCDAB 11---12 AA
二．填空题 14. -2 15. 16. -4
三．解答题
17.解：
18.解：（1）…1分
19.解：（1）由及正弦定理，有
20.解：………………1分
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是；………………8分
当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意； 10分
当时，在[1，e]上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，不合题意………………11分
故的取值范围为；………………………………………………………12分
21.解：（1）由已知得
22.解：（1）
（2）由（1）可知，
（3）先证递减且
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