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安微省池州市第一中学2014届高三上学期（期中）第三次月考
第 I 卷
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A. B . C. D.
2.若“”是“”的充分不必要条件，则的最大值是（ ）
A． 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2015
3. 已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
5. 已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2 （ ）
A． B． C． D．
中，的平分线交边于，已知，且，则的长为( )
A．1 B． C． D．3
7.袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是 （ ）
A． B． C． D．
9. 已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
，，记则的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
第 II 卷
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知,且满足，则_________________。
12. 关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 。
13.在极坐标系中，曲线与曲线的一个交点在极轴上，则的值为 。
14. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第个数字是 ．
15. 设二次函数的图象在点的切线方程为，若
则下面说法正确的有： 。
①存在相异的实数 使 成立；
②在处取得极小值；
③在处取得极大值；
④不等式的解集非空;
⑤直线 一定为函数图像的对称轴。
三、解答题（请注意答题步骤的书写工整，共75分）
16.（本题满分12分）如图,是边长为3的正方形，，,与平面所成的角为.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论。
17. （本题满分12分）淮南八公山某种豆腐食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和
数学期望．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
19. （本题满分13分）已知函数的定义域为，且同时满足以下三个条件：①；② 对任意的，都有； ③当时总有。
（1）试求的值；
（2）求的最大值；
（3）证明：当时，恒有。
20. （本题满分12分）在中,为线段上一点，且,线段。
（1）求证：
（2）若，，试求线段的长.
21. （本题满分14分）设函数，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，第15题少选、错选均不得分．
一、选择题（每小题5分，共50分）
1. 已知函数的定义域为，函数的定义域为，则（ ）
A. B . C. D.
选A 集合运算
2.若“”是“”的充分不必要条件，则的最大值是（ ）
A． 2011 B. 2012 C. 2013 D. 2015
选B 理解不必要条件的意思是还可以
3. 已知函数，直线是函数图像的一条对称轴，则（ ）
A. B. C. D.
选 C 辅助角公式，或求导易得。
4. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为 （ ）
A．
B．
C．
D．
选 D 直观图为四棱锥
5. 已知复数Z1和复数Z2，则Z1·Z2 （ ）
A． B． C． D．
6. 中，的平分线交边于，已知，且，则的长为( )
A．1 B． C． D．3
选C 由共线定理得，以下可有两种方法：几何线性运算，过D作AB,AC的平行线得菱形；或得出D分BC的比，进而求出AC长，再将式子平方转化为向量的另一种运算——数量积运算。
7.袋中标号为1，2，3，4的四只球，四人从中各取一只，其中甲不取1号球，乙不取2号球，丙不取3号球，丁不取4号球的概率为（ ）
A. B. C. D.
选B 一个错位排列模型。
8. 若函数图像上的任意一点的坐标满足条件，则称函数具有性质，那么下列函数中具有性质的是（ ）
A． B． C． D．
选 C 对不等式表示区域理解，对常见函数图像的特征的考查。
9. 已知函数在点（1,2）处的切线与的图像有三个公共点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10.已知，，记则的大小关系
是（ ）
A. B. C. D.
选C 实际上A为在上的定积分，B为曲边梯形的面积。另将A,B作商、作差，再换元构造函数也可判断。
第 II 卷
二、填空题（每小题5分，共25分）
11. 已知,且满足，则_________________。
答案：由，所以
(kz)。
12.关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 。
答案
13.在极坐标系中，曲线与曲线的一个交点在极轴上，则的值为 。
答案
14. 将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第个数字是 ．
答案：．
解：全体一位数共占据个数位，全体两位数共占据个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于，而，因，所以第个数字是三位数的末位数字，即为．
15. 设二次函数的图象在点的切线方程为，若
则下面说法正确的有： 。
①存在相异的实数 使 成立；
②在处取得极小值；
③在处取得极大值；
④不等式的解集非空;
⑤直线 一定为函数图像的对称轴。
[]
答案 ① ④ ⑤[]
三、解答题（请注意答题步骤的书写工整，共75分）
16.（本题满分12分）如图,是边长为3的正方形，，,与平面所成的角为.
(1)求二面角的的余弦值;
(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论。
解
其他解法，也给分。
17. （本题满分12分）淮南八公山某种豆腐食品是经过A、B、C三道工序加工而成的，A、B、C工序的产品合格率分别为、、．已知每道工序的加工都相互独立，三道工序加工的产品都为合格时产品为一等品；有两次合格为二等品；其它的为废品，不进入市场．
（Ⅰ）正式生产前先试生产2袋食品，求这2袋食品都为废品的概率；
（Ⅱ）设ξ为加工工序中产品合格的次数，求ξ的分布列和
数学期望．
解：（Ⅰ）2袋食品都为废品的情况为：
①2袋食品的三道工序都不合格；
②有一袋食品三道工序都不合格，另一袋有两道工序不合格；
③两袋都有两道工序不合格，
所以2袋食品都为废品的概率为．
（Ⅱ）由题意可得 ξ=0，1，2，3，，，
P（ξ=3）==，
ξ
0
1
2
3
P
故 P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=，得到ξ的分布列如下：
∴．
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
解：（）因为每件商品售价为0.05万元，则千件商品销售额为0.05×万元，依题意得： 当时， .? 2分 当时， =.? 4分 所以 6分
（）当时， 此时，当时，取得最大值万元. 8分 当时， 当时，即时取得最大值1000万元. 11分 所以，当产量为100千件时，该厂在这一商品中所获利润最大，最大利润为1000万元.? 12分
的定义域为，且同时满足以下三个条件：①；② 对任意的，都有； ③当时总有。
（1）试求的值；
（2）求的最大值；
（3）证明：当时，恒有。
当.有，又由（2）可知，所以有对任意的恒成立.
10分[]
当有，又由（2）可知
所以有对任意恒成立.
综上.对任意恒有成立 13分
21. （本题满分14分）设函数，其中.
（1）若，求在的最小值；
（2）如果在定义域内既有极大值又有极小值，求实数的取值范围；
（3）是否存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立.
（3）对于函数，令函数，
则，，
所以函数在上单调递增，又时，恒有，
即恒成立.取，则有恒成立.
显然，存在最小的正整数，使得当时，不等式恒成立. …………14分
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