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郑州外国语学校2013—2014学年上期高三11月月考试试卷
数 学 (文)
(120分钟 150分)
命题人:夏文来
一、选择题:(本大题共12个小题,每题5分,共60分)
1.若集合,则集合( )
A. B. C. D. R
2. 关于 的二次方程有实根,则复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.阅读右面程序框图,如果输出的函数值在区间内,则输入的实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.直线与函数的图像相切于点,且,为坐标原点,为图像的极大值点,与轴交于点,过切点作轴的垂线,垂足为,则=( )
A. 2 B. C. D.
5.已知 为非零向量,则“函数为偶函数”是“”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知z=2x +y,x,y满足且z的最大值是最小值的4倍,则a的值为( )
A. B. C. 2 D. 4
7.若圆C:关于直线对称,则由点向圆所作的切线长的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D.6
8.平面四边形中,,,将其沿对角线折成四面体,使平面平面,若四面体顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )
A. B. C. D.
9、已知函数①,②,则下列结论正确的是( )
(A)两个函数的图象均关于点成中心对称
(B)①的纵坐标不变,横坐标扩大为原来的2倍,再向右平移个单位即得②
(C)两个函数在区间上都是单调递增函数
(D)两个函数的最小正周期相同
10.设F1, F2分别为双曲线()的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点。若的最小值为8,则该双曲线的离心率的取值范围是 ( )
A.(1,] B.(1,3) C.(1,3] D.[,3)
11. 对于函数,若在定义域内存在实数,满足 称为“局部奇函数”,若为定义域上的“局部奇函数”,则实数的取值范围是( )
12.已知函数f(x)是定义在R上的以4为周期的函数,”当x∈(-1,3]时,f(x)=
其中t>0.若函数y=-的零点个数是5,则t的取值范围为( )
A.(,1) B.(,) C.(1,) D.(1,+∞)
二、填空题:本大题共4个小题,每题5分,共20分
13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为________. 的夹角为120°,且|的值为_______.
15.在等差数列中,,其前项和为,
若,则 的值等于 .
16.设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),
f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒 成 立,
则实数m的取值范围是
三、解答题:共70分.解答必须写出必要的文字说明或解答过程
17.(本小题满分12分)已知分别在射线(不含端点)上运动,,在中,角、、所对的边分别是、、.
(Ⅰ)若、、依次成等差数列,且公差为2.求的值;
(Ⅱ)若,,试用表示的周长,
并求周长的最大值.
18.(本小题满分12分)设公比大于零的等比数列的前项和为,且, ,数列的前项和为,满足,,.
(Ⅰ)求数列、的通项公式;
(Ⅱ)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围.
19.如图,在交AC于 点D,现将
(1)若点P为AB的中点,E为
(2)当棱锥的体积最大时,求PA的长;
20.如图,已知椭圆:的一个焦点是,两个焦点与短轴的一个
端点构成等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆于、两点,设点关于轴的对称点为.
(ⅰ)求证:直线过轴上一定点,并求出此定点坐标;
(ⅱ)求△面积的取值范围.
21.已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线 在点处的切线与轴平行.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的单调区间;
(Ⅲ)设,其中是的导函数.证明:对任意,
.
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分
22.(本小题满分10分)如图,⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C,过点B作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2于点D、E,DE与AC相交于点P.
(1)求证:AD//EC;
(2)若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC =2,BD =9,求AD的长。
23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为:(为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线的平面直角坐标方程;
(Ⅱ)设直线与曲线交于点,若点的坐标为,求的值.
24.(本小题满分10分)已知不等式的解集为.(Ⅰ )求的值;(Ⅱ )若,求的取值范围.
郑州外国语学校2013—2014学年上期高三11月月考试试卷
数 学 (文)
参考答案
选择题:CDBDC BCACC BB
二 、 填空题 ; -8 ; -2013; (-∞,-]∪[,+∞).
三、 解答题:17. 解(Ⅰ)、、成等差,且公差为2,
、. 又,,
, ,
恒等变形得 ,解得或.又,.
(Ⅱ)在中,, ,,.
的周长
,
又,, 当即时,取得最大值.
18、解:(Ⅰ)由, 得
又(,
则得
所以,当时也满足.
(Ⅱ),所以,使数列是单调递减)设,若数列是单调递减数列,求实数的取值范围.
则对都成立,
即,
,
当或时,所以.
19解:(1)证明:作得中点F,连接EF、FP
由已知得:
为等腰直角三角形,
所以.
(2)设,则
令
则
单调递增极大值单调递减由上表易知:当时,有取最大值。
20解:(Ⅰ)因为椭圆的一个焦点是,所以半焦距.
椭圆两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.所以,解得
所以椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)(i)设直线:与联立并消去得:
.记,,
,.
由A关于轴的对称点为,得,根据题设条件设定点为,
得,即.
所以
即定点8分
(ii)由(i)中判别式,解得. 可知直线过定点
所以
得,令,记,得,当时,.在上为增函数,
所以 ,得,
故△OA1B的面积取值范围是.
(21)解:
(Ⅰ),依题意,为所求.
(Ⅱ)此时
记,,所以在,单减,又,
所以,当时,,,单增;
当 时,,,单减.
所以,增区间为(0,1);
减区间为(1,.
(Ⅲ),先研究,再研究.
① 记,,令,得,
当,时,,单增;
当,时,,单减 .
所以,,即.
② 记,,所以在,单减,
所以,,即
综①、②知,.
22.(1)证明:连接,是的切线,.
又 (2)是的切线,是的割线,
..又中由相交弦定理,
得,.是的切线,是的割线,
(Ⅰ),得,
当时,得,
对应直角坐标方程为:.
当,有实数解,说明曲线过极点,而方程所表示的曲线也过原点.
∴曲线的直角坐标方程为.
(Ⅱ)的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得,
即,由于,故可设是上述方程的两实根,
则. ……5分
∵直线过点,
∴由的几何意义,可得.
24.解:(Ⅰ)依题意,当时不等式成立,所以,解得,经检验,符合题意.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知.根据柯西不等式,得所以,
当且仅当时,取得最大值,时,取得最值,因此的取值范围是.
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