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2014年长春市高中毕业班第一次调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）
题号123456789101112答案BBADCDADBDCC1.【试题答案】【试题解析】的虚部为，得的虚部为，故选.
2.【试题答案】【试题解析】，，所以，故选.
3.【试题答案】【试题解析】，∴将选项代入验证，当时，取得最值，故选.
4.【试题答案】【试题解析】中的几何意义为：抛物线的焦点到准线的距离，又，故选.
5.【试题答案】【试题解析】，又，则，即，解得或，故选.
6.【试题答案】【试题解析】，
所以，，
，故选.
7.【试题答案】【试题解析】，得,则表示该
组平行直线在轴的截距。又由约束条件
作出可行域如图，先画出，经
平移至经过和的交点时，取得
最大值，代入，即，所以
，故选.
8.【试题答案】【试题解析】可能在平面内；B选项，如果直线不在平面内，不能得到；C选项，直线与可能平行，可能异面，还可能相交；故选.
9.【试题答案】【试题解析】得，又，，
则，，所以有，即，从而
解得，又，所以，故选.
10.【试题答案】【试题解析】球的表面积，再加上个圆面积，故，又球半径，，故选.
11.【试题答案】【试题解析】表示的平面区域如图
所示，函数具有性质，则函
数图像必须完全分布在阴影区域①
和②部分，分布在区
域①和③内，分布
在区域②和④内，图像
分布在区域①和②内，
在每个区域都有图像，故选
12.【试题答案】【试题解析】，
易知时，；时，
所以在上恒成立，故在上是增函数，又，
∴只有一个零点，记为，则.
同理可证明也只有一个零点，记为，且.故
有个不同零点，,即将向左平移
个单位，即将向右平移个单位，∴，，
又函数零点均在区间内，故当，
时，即 的最小值，故选
第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）
13.【试题答案】 【试题解析】【试题答案】，上下底面中心设为，，由题意，外接球心为的中点，设为，则，由 ，得，又易得，由勾股定理可知，，所以，即棱柱的高，所以该三棱柱的体积为.
15.【试题答案】【试题解析】与圆交于,，则直线的方程为：
，
化简得：
又圆平分圆的周长，则直线过,代入的方程得：,
∴
.
16.【试题答案】 ③
【试题解析】，
则，故①错。
，∴，故②错。在是单调递增的周函
数，知，故，故③正确，易知④错。综上，正确序号为③。
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17.【试题解析】的公差为，
则，
又，则，故. ……………………………………………6分
（2）由（1）可得，又，
即，化简得，
解得或（舍），所以的值为4.……………………………………12分
18.【试题解析】
…………4分
因为，所以最小正周期. ……………………6分
（2）由（1）知，当时，.
由正弦函数图象可知，当时，取得最大值，又为锐角
所以. ……………………8分
由余弦定理得，所以或
经检验均符合题意. ……………………10分
从而当时，△的面积；……………11分
. ……………………12分
19.【试题解析】交于，
∵四边形为正方形，
∴，
∵正方形与矩形所在平面互相垂直，交线为，，
∴平面，又平面
∴，
又，∴平面，
又平面，∴.……………………………………………6分
（2）存在满足条件的.
【解法一】假设存在满足条件的点，过点作
于点，连结
，则，
所以为二面角的平面角，
……………………9分
所以，
在中，所以，
又在中，，所以，∴ ，
在中，，
∴．
故在线段上存在一点，使得二面角为，且. ………………………………………12分
【解法二】依题意，以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，因为，，，，，所以，.
易知为平面的法向量，设，所以,
设平面的法向量为，所以，即，
所以，取，
则，又二面角的大小为，解得.
又因为，所以.
故在线段上是存在点，使二面角的大小为.
……………………………………………12分
20.【试题解析】.由题意的中垂线方程分别为，
于是圆心坐标为.所以，
整理得， ……………………………………………4分
即，
所以，于是，即.
所以，即. ……………………………………………6分
（2）当时，，此时椭圆的方程为，
设，则，
所以. …………………8分
当时，上式的最小值为，即，得；…………10分
当时，上式的最小值为，即，
解得，不合题意，舍去.
综上所述，椭圆的方程为. ……………………………………12分
21.【试题解析】，其定义域为，则，2分
对于，有.
①当时，，∴的单调增区间为；
②当时，的两根为，
∴的单调增区间为和，
的单调减区间为.
综上：当时，的单调增区间为；
当时，的单调增区间为和，
的单调减区间为. ………6分
（2）对，其定义域为.
求导得，，
由题两根分别为，，则有，， ………8分
∴，从而有
，……10分
.
当时，，∴在上单调递减，
又，
∴. ………………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 【试题解析】 (1)所以，即为的中点.…5分
(2)由为圆的直径，易得 ，，
∴. ………10分
23. 【试题解析】的参数方程，即（为参数）
由题知点的直角坐标为，圆半径为，
∴圆方程为 将 代入
得圆极坐标方程 ………5分
（2）由题意得，直线的普通方程为，
圆心到的距离为，
∴直线与圆相离. ………10分
24. 【试题解析】，即，
当时，则，得，∴；
当时，则，得，恒成立，∴ ；
当时，则，得，∴；
综上，. ………5分
（2）当时， 则，.
即：，，∴，
∴，即，
也就是，
∴，
即：，
即. ………10分
1
A
第7题图
第11题图
O
第19题图（1）
第19题图2
第19题图（2）
2014年长春市高中毕业班第一次调研测试理科
数学试题参考答案及评分标准
