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2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
数学试卷（理工类）
考试说明：本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；
（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；
（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第I卷 （选择题, 共60分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)，，,则集合的元素个数为
A. B. C. D.
2. 若是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为
A. B. C. D.
3. 若表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，则的一个充分条件是
A. B. C. D.
4. 若，则的值为 B. C. D.
5. 若按右侧算法流程图运行后，输出的结果是,则输入的
的值为
A. B. C. D.
6. 若变量满足约束条件，则目标函数
的最小值为
A. B. C. D.
7. 直线截圆所得劣弧所对
圆心角为
A. B. C. D.
8. 如图所示一个空间几何体的三视图，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是
B. C. D.
9. 等比数列中，若，则
的值是
A. B. C. D.
10. 在二项式的展开式中只有第五项的二项式
系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为
A. B. C. D.
11. 设、、是双曲线上不同的三个点，且、连线经
过坐标原点，若直线、的斜率之积为，则该双曲线的离心率为
A. B. C. D.
12. 在平面直角坐标系中，已知是函数的图象上的动点，该在点处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点.则的是 B. C. D.
哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．），由不等式， ,
，归纳得到推广结论：
，则实数
14. 五名三中学生中午打篮球,将校服放在篮球架旁边,打完球回教室时由于时间太紧,只有
两名同学拿对自己衣服的不同情况有种.(具体数字作答)
15. 已知,动点满足,则的最大值
为
16. 在中，内角所对的边长分别为，已知角为锐角, 且
，则实数范围为
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）（本小题满分12分）满足，等比数列满足.
（I）求数列，的通项公式；
（II）设，求数列的前项和.
18.（本小题满分12分）名学生，并对这名学生按成绩分组，第一组，第二组，第三组
，第四组，第五组，如图为频率分布直方图的一部分，其中
第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数
为60.
（I）请在图中补全频率分布直方图；
（II）若大学决定在成绩高的第，
，组中用分层抽样的方法抽
取名学生进行面试.
若大学本次面试中有、、三位考官，规定获得两位考官的认可即面试
成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为、，，求甲同学面试成功的概率；
②若大学决定在这名学生中随机抽取名学生接受考官的面试，第组中有名学生被考官面试，求的分布列和
数学期望.
19.（本小题满分12分）中，底面为菱形，，为的
中点.
（I）若，求证：平面平面；
（II）若平面平面，且，点在线段上，试
确定点的位置，使二面角大小为,并求出的值.
20.（本小题满分12分）是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线
交于两点.
（I）求证：为定值；
（II）若点与点不重合，问的面积是否存在最大值?若存在，求出最大
值； 若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分），函数．
（Ⅰ）当时，求在内的极值；
（Ⅱ）设函数，当有两个极值点，（）
时，总有，求实数的值．（其中是函数的导函数．）
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
是的⊙直径，与⊙相切于，为线段上一点，连接、
分别交⊙于、两点，连接交于点.
（Ⅰ）求证：、、、四点共圆.
（Ⅱ）若为的三等分点且靠近，，，求线段的长.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
中，直线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为
极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（Ⅰ）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的取值范围.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，且，求证：
2014年哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试
14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（I），所以数列为等差数列，
则；-----------------------------------------------3分
，所以，
则；-------------------------------------------------------------------6分
（II），
则
两式相减得----------9分
整理得.-----------------------------------------------12分
18.解：（Ⅰ）因为第四组的人数为，由直方图可知，第五组人数为:人，又为公差，所以第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人
---------------------------------------------------------------------------------------------------4分
（Ⅱ）设事件甲同学面试成功，则
……………..8分
（Ⅲ）由题意得，
， ,
,
分布列为
0123…………………..12分
19. （I），为的中点，，又底面为菱形，， ,又平面，又平面,平面平面;-----------------------------6分
（II）平面平面,平面平面,
平面.以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系如图.
则,设(),
所以，平面的一个法向量是，
设平面的一个法向量为，所以
取，-----------------------------------------9分
由二面角大小为，可得：
，解得，此时--------------------------------12分
20. 解：（I）因为点在抛物线上，
所以，有，那么抛物线---------------------------------------2分
若直线的斜率不存在，直线:，此时
-------------------------------------------3分
若直线的斜率存在，设直线:，点，
，
有，---------------5分
那么，为定值.--------------------------------------------------------------------------7分
（II） 若直线的斜率不存在，直线:，此时
若直线的斜率存在时，
------------------9分
点到直线:的距离------------------------------10分
，令，有，
则没有最大值.---------------------------------------------------------12分
21. 解：（Ⅰ）当时，，则，
令，则，显然在上单
调递减.
又因为，故时，总有，
所以在上单调递减.---------------------------------------------3分
又因为，
所以当时，，从而，这时单调递增，
当时，，从而，这时单调递减,
当变化时，，的变化情况如下表：
１+0－极大
所以在上的极大值是.-----------------------------5分
（Ⅱ）由题可知，则.
根据题意方程有两个不等实数根，，且，
所以，即，且.因为，所有.
由，其中，
可得
又因为，，将其代入上式得：
，整理得.--------------------------------------------------------8分
即不等式对任意恒成立
当时，不等式恒成立，即；
当时，恒成立，即
令，显然是上的减函数，
所以当时，，所以；
(3)当时，恒成立，即
由（2）可知，当时，，所以；
综上所述，.-------------------------------------12分
22. （Ⅰ）连接，则，，
所以，所以，所以四点共圆.
………………………………..5分
（Ⅱ）因为，则，又为三等分，所以，，
又因为，所以，…………………….10分
23.（I）直线的普通方程为：；
曲线的直角坐标方程为---------------------------4分
（II）设点，则
所以的取值范围是.--------------------------10分
24. （I）不等式的解集是------------------------------5分
（II）要证，只需证，只需证
而，从而原不等式成立.----------------------------------------10分
哈第三中学2014届高三第一次模拟考试
数学考试已经结束。本次考试试卷命题工作由高三
数学备课组教师承担。在命题过程中，老师们经过多次备课研讨，反复研究考纲，分析高考试题动向和高三学生此阶段的复习现状，最终确定了试题的考点、题型和难度，并且在教务处的组织下对试题进行了多次严密地校对，最终成稿。结合老师和学生们的反馈，对理科
数学模拟试题进行简要的评析，以供参考。
一、命题依据：
1．2014年高考考试大纲及说明。
2．最近几年高考试卷的分析与总结。
3．各校高三复习所处的阶段和学生现阶段知识掌握水平和应试能力。
二、本套试卷特点：
1．试题难度梯度安排合理，区分度较高。
2．考点安排上突出高中
数学知识主干，注重双基的考查和
数学思想的体现。
3．关注知识的交汇，注重
数学知识的实际应用，与课改思想同步。
4．关注聚焦热点问题，注重考查学生的创新意识和能力。
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