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绝密★启用前 试卷类型：A
2014年深圳市高三年级第一次调研考试
本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．
3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．
5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
参考公式：
如果事件 互斥，那么 ；
如果事件 相互独立，那么 ；
若锥体的底面积为 ，高为 ，则锥体的体积为 ．
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合 ，集合 ，集合 ．则集合 可表示为
A． B． C． D．
2.复数 满足 （其中 为虚数单位），则 =
A． B． C． D．
3．下列函数中，为奇函数的是
A． B． C． D．
4．“ ”是“ 函数 在区间 上单调递减”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．执行如图1所示的程序框图，则输出的 的值为
（注：“ ”，即为“ ”或为“ ”．）
A．
B．
C．
D．
6． 的展开式中常数项为
A． B．
C． D．
7．如图2，在矩形 内：记抛物线 与直线
围成的区域为 （图中阴影部分）．随机往矩形 内投一
点 ，则点 落在区域 内的概率是
A． B．
C． D．
8.在平面直角坐标系中，定义两点 与 之间的“直角距离”为 ．给出下列命题：
（1）若 ， ，则 的最大值为 ；
（2）若 是圆 上的任意两点，则 的最大值为 ；
(3) 若 ，点 为直线 上的动点，则 的最小值为 ．
其中为真命题的是
A．（1）（2）（3） B．（1）（2） C．（1）(3) D． (2)(3)
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．
（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．函数 的定义域为 ．
10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．
11.已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，
且双曲线 的渐近线方程为 ，则双曲线 的方程为 ．
12. 设实数 满足 向量 ， ．若 ，则实数 的最大值为 ．
13.在数列 中，已知 ， ，且数列 是等比数列，则 ．
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．
14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极坐标方程为 ．则曲线 与曲线 的交点个数为________个．
15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知 是⊙ 的直径， 是⊙ 的切线，过 作弦 ，若 ， ，则 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数 的图像经过点 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
17.（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：
若网购金额超过 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 千元的顾客定
义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 ．
（1）试确定 ， ， ， 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．
（2）该营销部门为了进一步了解这 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购
达人”中用分层抽样的方法确定 人，若需从这 人中随机选取 人进行问卷调查．设 为选取的 人中“网购达人”的人数，求 的分布列和
数学期望．
18．（本小题满分14分）
如图6所示，平面 平面 ，且四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线 与平面 所成角的余弦值．
19.（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
20.（本小题满分14分）
如图7，直线 ，抛物线 ，已知点 在抛
物线 上，且抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为 ．
（1）求直线 及抛物线 的方程；
（2）过点 的任一直线（不经过点 ）与抛物线 交于 、 两点，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直线 为曲线 的切线，求实数 的值；
（3）当 时，设 ，且 ，若不等式 恒成立，求实数 的最小值．
2014年深圳市高三年级第一次调研考试
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．
一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．
1 2 3 4 5 6 7 8
C B D A D C B A
二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．
9． ； 10． ； 11． ； 12． ；
13． ； 14． ； 15． ．
三、解答题
16．（本小题满分12分）
已知函数 的图像经过点 ．
（1）求 的值；
（2）在 中， 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ，且 ．求 ．
解：（1）由题意可得 ，即 ． ……………………………2分
， ， ，
． ……………………………………………………………5分
（2） ，
， ……………………………………………………7分
． …………………………………………8分
由（1）知 ，
．
， ， ……………………………10分
又 ，
．……………12分
【说明】 本小题主要考查了三角函数 的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的
数学运算能力．
17．（本小题满分12分）
某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：
若网购金额超过 千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过 千元的顾客定
义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为 ．
（1）试确定 ， ， ， 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．
（2）该营销部门为了进一步了解这 名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购
达人”中用分层抽样的方法确定 人，若需从这 人中随机选取 人进行问卷调查．设 为选取的 人中“网购达人”的人数，求 的分布列和
数学期望．
解：（1）根据题意，有
解得 …………………2分
， ．
补全频率分布直方图如图所示． ………4分
（2）用分层抽样的方法，从中选取 人，则
其中“网购达人”有 人，“非网购达人”有 人． …………………6分
故 的可能取值为0，1，2，3；
， ，
， ．…………………………10分
所以 的分布列为：
． ……………………12分
【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及
数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．
18．（本小题满分14分）
如图6所示，平面 平面 ，且四边形 为矩形，四边形 为直角梯形， ， ， ， ．
（1）求证 平面 ；
（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值；
（3）求直线 与平面 所成角的余弦值．
解：（法一）（1）取 中点为 ，连接 、 ，
且 ，
，则 且 ． …………2分
四边形 为矩形， 且 ，
且 ，
，则 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ． ……………………………………………………4分
（2）过点 作 的平行线交 的延长线
于 ，连接 ， ， ，
，
， ， ， 四点共面．
四边形 为直角梯形，四边形 为矩形，
， ，又 ，
平面 ， ，
又 平面 平面 ，
为平面 与平面 所成锐二面角的平面角．……………………7分
， ．
即平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． ……………………9分
（3）过点 作 于 ，连接 ，
根据（2）知 ， ， ， 四点共面， ，
， ，
又 ， 平面 ，
，则 ．
又 ， 平面 ．
直线 与平面 所成角为 ． ……………………………11分
， ，
， ， ，
．
即直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ……………………………14分
（法二）（1） 四边形 为直角梯形，四边形 为矩形，
， ，
又 平面 平面 ，且
平面 平面 ，
平面 ．
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，
所在直线为 轴建立如图所示空间直角坐标系．
根据题意我们可得以下点的坐标：
， ， ， ， ， ， 则 ， ． ………………2分
， ， 为平面 的一个法向量．
又 ，
平面 ． …………………………………………………………4分
（2）设平面 的一个法向量为 ，则
， ，
， 取 ，得 ． ……………………………6分
平面 ，
平面 一个法向量为 ，
设平面 与平面 所成锐二面角的大小为 ，
则 ．
因此，平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 ． …………………9分
（3）根据（2）知平面 一个法向量为 ，
， ，………12分
设直线 与平面 所成角为 ，则 ．
因此，直线 与平面 所成角的余弦值为 ． ………………………14分
【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决
数学问题的能力．
19． （本小题满分14分）
已知数列 的前 项和为 ，且满足 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 ；
（3）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．
解：（1）当 时，有 ，解得 ．
当 时，有 ，解得 ．……………2分
（2）（法一）当 时，有 , ……………①
． …………………②
①—②得： ，即： ．…………5分
．
． ………………………………………8分
另解： ．
又 当 时，有 ， ． …………………………8分
（法二）根据 ， ，猜想： ． ………………………………3分
（Ⅰ）当 时，有 ，猜想成立．
（Ⅱ）假设当 时，猜想也成立，即： ．
那么当 时，有 ，
即： ，………………………①
又 ， …………………………②
①-②得： ，
解，得 ．
当 时，猜想也成立．
因此，由
数学归纳法证得 成立．………………………………………8分
（3） ， ……………………………10分
． ………………………………………14分
【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想．
20．（本小题满分14分）
如图7，直线 ，抛物线 ，已知点 在抛
物线 上，且抛物线 上的点到直线 的距离的最小值为 ．
（1）求直线 及抛物线 的方程；
（2）过点 的任一直线（不经过点 ）与抛物线 交于 、 两点，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ．问：是否存在实数 ，使得 ？若存在，试求出 的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）（法一） 点 在抛物线 上， ． ……………………2分
设与直线 平行且与抛物线 相切的直线 方程为 ，
由 得 ，
，
由 ，得 ，则直线 方程为 ．
两直线 、 间的距离即为抛物线 上的点到直线 的最短距离，
有 ，解得 或 （舍去）．
直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ． …………………………6分
（法二） 点 在抛物线 上， ，抛物线 的方程为 ．……2分
设 为抛物线 上的任意一点，点 到直线 的距离为 ，根据图象，有 ， ，
， 的最小值为 ，由 ，解得 ．
因此，直线 的方程为 ，抛物线 的方程为 ．…………………6分
（2） 直线 的斜率存在， 设直线 的方程为 ，即 ，
由 得 ，
设点 、 的坐标分别为 、 ，则 ， ，
， ， …………………………9分
.…10分
由 得 ， ，
， ……………………………………………13分
．
因此，存在实数 ，使得 成立，且 ．…………………………14分
【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切
线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．
21． （本小题满分14分）
已知函数 ．
（1）求 在 上的最大值；
（2）若直线 为曲线 的切线，求实数 的值；
（3）当 时，设 ，且 ，若不等式 恒成立，求实数 的最小值．
解：（1） ，…………………………2分
令 ，解得 （负值舍去），
由 ，解得 ．
（ⅰ）当 时，由 ，得 ，
在 上的最大值为 ．…………………………………3分
（ⅱ）当 时，由 ，得 ，
在 上的最大值为 ．……………………………………4分
（ⅲ）当 时， 在 时， ，在 时， ，
在 上的最大值为 ．…………………………………5分
（2）设切点为 ，则 ……………………………6分
由 ，有 ，化简得 ，
即 或 ， ……………………………①
由 ，有 ，……………②
由①、②解得 或 ． ……………………………………………9分
（3）当 时， ，
由（2）的结论直线 为曲线 的切线，
， 点 在直线 上，
根据图像分析，曲线 在直线 下方． …………………………10分
下面给出证明：当 时， ．
，
当 时， ，即 ．………………………12分
，
， ．
要使不等式 恒成立，必须 ．……………13分
又 当 时，满足条件 ，
且 ，
因此， 的最小值为 ． …………………………………………………14分
【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．
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