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惠州市2014届高三第一次调研考试
数学试题(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
1.已知集合,则 ( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面上对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知平面向量,,且,则向量( )
A. B. C. D.
4.已知直线与直线平行且与圆:相切,则直线的方程是( )
A. B. 或
C. D. 或
5.对于平面、、和直线、、、,下列命题中真命题是( )
A.若,则 B.若,则
C.若则 D.若,则
6.不等式组表示的平面区域的面积是( )
A. B. 0 C. D.
7.已知函数,若过点且与曲线相切的切线方程为,则实数的值是( )
A. B. C.6 D.9
8.对于任意两个正整数,定义某种运算“※”如下:当都为正偶数或正奇数时,※=;当中一个为正偶数,另一个为正奇数时,※=.则在此定义下,集合※中的元素个数是( )
A.10个 B.15个 C.16个 D.18个
二、填空题:本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.
(一)必做题:第9至13题为必做题,每道试题考生都必须作答.
9.右图是某高三学生进入高中三年来第次到次的
数学考试成绩
茎叶图, 根据茎叶图计算数据的中位数为 .
10.已知等差数列{},满足,则此数列的前项
的和 .
11.已知直线与直线垂直,则直线的倾斜角 .
12.设是上的奇函数,. 当时有,
则 .
13.一物体在力(单位:)的作用下沿与力相同的方向,
从处运动到 (单位:)处,则力做的功为 焦.
14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆的圆心到直线 的距离是 .
15.(几何证明选讲选做题)如图,为圆直径,切圆于点, , ,则等于 .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.(本小题满分12分)已知函数.(1)求的最大值和最小正周期;(2) 若,是第二象限的角,求.
17.(本小题满分12分)某社团组织名志愿者利用周末和节假日参加社会公益活动,活动内容是:1、到各社区宣传慰问,倡导文明新风;2、到指定的医院、福利院做义工,帮助那些需要帮助的人.各位志愿者根据各自的实际情况,选择了不同的活动项目,相关的数据如下表所示:
宣传慰问 义工 总计
20至40岁 11 16 27
大于40岁 15 8 23
总计 26 24 50
(1) 分层抽样方法在做义工的志愿者中随机抽取6名,年龄大于40岁的应该抽取几名?
(2) 上述抽取的6名志愿者中任取2名,求选到的志愿者年龄大于40岁的人数的
数学期望.
18.(本小题满分14分)如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点.(1)求点到面的距离;(2)求二面角的正弦值.
19.(本小题满分14分)已知等差数列的公差,它的前项和为,若,且成等比数列.(1) 求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,求证:.
20.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,点为动点,分别为椭圆的左右焦点.已知△为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于两点,是
直线上的点,满足,
求点的轨迹方程.
21.(本小题满分14分)已知二次函数,且不等式的解集为.(1) 方程有两个相等的实根,求的解析式.
(2) 的最小值不大于,求实数的取值范围.
(3) 如何取值时,函数()存在零点,并求出零点.
惠州市2014届高三第一次调研考试
一.选择题:共8小题,每小题5分,满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A D C A D B
1.【解析】,故,故选C.
2.【解析】,所以点(位于第二象限.故选B.
3.【解析】∵,∴,∴.故选A.
4.【解析】圆的圆心为,半径为,因为直线,所以,设直线 的方程为,由题意得或.
所以,直线的方程或.故选D.
(二)【解析】对于平面、、和直线、,真命题是“若, 则”.故选C
6.【解析】不等式组表示的可行域如图所示,
故面积为.故选A.
7.【解析】设切点为,则 ①,
∵,又切线l过A、M两点,
∴则 ②
联立①、②可解得,从而实数的值为故选D.
8.【解析】从定义出发,抓住的奇偶性对12实行分拆是解决本题的关键,当同奇偶时,根据※=将12分拆两个同奇偶数的和,当一奇一偶时,根据※=将12分拆一个奇数与一个偶数的积,再算其组数即可.
若同奇偶,有,前面的每种可以交换位置,最后一种只有1个点,这时有;
若一奇一偶,有,每种可以交换位置,这时有;
∴共有个.故选B
二.填空题:共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题.
9.94.5 10.35 11. (或) 12. 13.36 14. 15. 5
9.【解析】从茎叶图中可知14个数据排序为:79 83 86 88 91 93 94 95 98 98 99 101 103 114中位数为94与95的平均数94.5 .
10.【解析】.
11.【解析】直线与直线垂直得,.?
12.【解析】
.
13.【解析】
14.【解析】由得圆为,圆的圆心直线的直角坐标方程为,所以点到直线的距离是.
15.【解析】连接,切圆于点,.又,是中点,.
三、解答题:
16.解(1)∵
………………………4分
∴的最大值为2,……5分,最小正周期为 ………6分
(2)由(1)知,
所以,即 ………………………8分
又是第二象限的角,所以……10分
所以 ………12分
17解:(1)若在做义工的志愿者中随机抽取6名,则抽取比例为……………2分
∴ 年龄大于40岁的应该抽取人. ………………………4分
(2)在上述抽取的6名志愿者中任取2名,假设选到年龄大于40岁的人数为,
∵ 6名志愿者中有2人的年龄大于40岁,其余4人的年龄在20到40岁之间,
∴ 可能的取值为. ………………………5分
则,, ………8分
∴的分布列为
………10分
18(本小题满分14分)解: (1)取的中点,连、
、
则面,的长就是所要求的距离.
………………………3分
、,
,在直角三角形中,有…6分
(另解:由
(2)连结并延长交于,连结、.
则就是所求二面角的平面角. ……………9分
作于,则
在直角三角形中,
在直角三角形中,……………12分
,故所求的正弦值是 ……………14分
方法二: (1)以为原点,、、分别为、、轴建立空间直角坐标系.
则有、、、……2分
设平面的法向量为
则由
由,……4分
则点到面的距离为……6分
(2) ……8分
设平面的法向量为则由知:
由知:取 ……………10分
由(1)知平面的法向量为 ……………11分
则<>. ……………13分
结合图形可知,二面角的正弦值是 ……………14分
19.(本题满分14分)解:(1)数列是等差数列且,
. ①…2分
成等比数列,即②………4分
由①,②解得或…………5分
………6分
(2)证明;由(1)可得, …………7分
所以. …………8分
所以
. …………10分
,. …………11分
,数列是递增数列,.………13分
. …………14分
20解:(1)设,
由题意,可得,即, ……………2分
整理得,得(舍)或,所以. ……………4分
(2)由(1)知,可得椭圆方程为.
直线方程为 ……………………………………………5分
两点的坐标满足方程组,消去y并整理得……6分
解得得方程组的解 ……………………8分
不妨设,设的坐标为则
, …………10分
由得.
于是 …………11分
由得,
化简得, ………………………………13分
将代入得,
由得.因此,点的轨迹方程是. …14分
21解:∵的解集为,
∴的解集为, ……………………1分
∴,且方程的两根为
即,∴ ……2分 (1)∵方程有两个相等的实根,即有两个相等的实根
∴,
∴或 …………3分
∵,∴, ∴ …………4分
(2)
∵,∴的最小值为, ……………………5分
则,,解得, …………7分
∵,∴ ………………………………8分
(3)由,得 (※)
①当时,方程(※) 有一解,
函数有一零点; ……………………9分
②当时,
方程(※)有一解, 令
得, ,
i)当,时,((负根舍去)),函数有一零点. ……………10分
ii) 当时,的两根都为正数,当或时,函数有一零点.11分
ⅲ) 当时,,
③方程(※)有二解,
i) 若,,时,
((负根舍去)),函数
有两个零点; …12分
ii) 当时,,的两根都为正数,
当或时,
函数有两个零点。……13分
ⅲ) 当时,,恒成立,
取大于0()的任意数,函数有两个零点 …14分
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