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2014届惠州市高三第一次调研考试试题
（本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟）
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1. 已知集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数等于（ ）
A. B. C. D.
3. 在数列中，，公比，则的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．16
4. 某城市修建经济适用房．已知甲、乙、丙三个社区分别有低收入家庭360户、270户、180户，若首批经济适用房中有90套住房用于解决住房紧张问题，采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从乙社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A．40 B．36 C．30 D．20
5. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数是（ ）
A． B． C． D．
6. 已知平面向量的夹角为，且，，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 执行如图所示程序框图．若输入，则输出的值是（ ）
A． B． C． D．
9. 圆与直线相切于第三象限，则的值是（ ）
A． B． C． D．
10. 设函数有三个零点
且，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．
其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，
只计算前一题得分．
11. 在中，若，则= .
12. 不等式组表示的平面区域的面积是 .
13. 定义映射，其中，，已知对所有的有序正整数对满足下述条件:①，②若，；
③，则 .
14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，为极点，直线过圆：的圆心，且与直线垂直，则直线的极坐标方程为 ．
15. (几何证明选讲选做题) 如图示，是半圆周上的两个三等分点，直径，，垂足为，则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最小值；
（2）若，，求的值.
组别 候车时间 人数
一 2
二 6
三 4
四 2
五 1
17.（本小题满分12分）
为调查乘客的候车情况，公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成5组，如下表所示：
（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（2）若从上表第三、四组的6人中随机抽取2人作进一步的问卷调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18.（本小题满分14分）
在正方体中，棱长为2，是棱上中点，是棱中点，
（1）求证：面；
（2）求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）
设数列的前n项和为，点在直线上，．
（1）证明数列为等比数列，并求出其通项；
（2）设，记，求数列的前和．
20．（本小题满分14分）
如图，A, B 是椭圆 的两个顶点, ，直线AB的斜率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l平行于A,B ，与x, y轴分别交于点，
与椭圆相交于，证明：△OCM的面积等于△OCM的面积．
21．(本小题满分14分）
已知函数
(1)若求函数的极值；
(2)若函数在上单调递减，求实数a的取值范围；
(3)在函数的图象上是否存在不同的两点使线段AB的中点的横坐标与直线AB的斜率k之间满足？若存在，求出
若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D C A C C C
【解析】
1. ，故，选C
2. ，选D
3. 数列为，等比数列，，选B
4. 设从乙社区抽取户，则，解得 ，选C
5. 不是偶函数，是周期函数，在区间上不是单调递减，在区间上单调递增，故选D。
6. ，选C
7. 由三视图可知，三棱柱的高为1，底面正三角形的高为，所以正三角形的边长为2，所以三棱柱的侧面积为，两底面积为，所以表面积为，选A.
8. ，故选C
9. 解得，因为圆与直线相切于第三象限，由图可知，，故选C。
10．，令 故
+ 0 — 0 +
递增 极大值 递减 极小值 递增
又因为，，
，，综合以上信息可得
示意图如右，由图可知，<1，选C.
二、填空题
11. 12. 13. 2 14. 15.
【解析】
11. 由余弦定理解得
12. 不等式组表示的可行域如图所示，故面积为
13. 由题意可知，，，
14. 圆C的直角坐标方程为，故圆心C为，过圆心且与OC垂直的直线为，转为极坐标方程为。
15. 依题意知,则,
,代入解得。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.解：（1）已知函数即 ……………………………2分
… ………………………………………………………3分
当时，即，…………4分
…………………………………………………………6分
(2)………8分
由解得：……10分
….................................................11分
所以……………....................................12分
17. 解：（1）由频率分布表可知：这15名乘客中候车时间少于10分钟的人数为8，
所以，这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数大约等于人.…4分
（2）设第三组的乘客为，第四组的乘客为1，2；
“抽到的两个人恰好来自不同的组”为事件.………………………………5分
所得基本事件共有15种，即：
…………………8分
其中事件包含基本事件，共8种，………10分
由古典概型可得， ………………………12分
18.解：（1）取中点，连接，
则为中位线，，…………2分
而正方体，是棱上中点，
故，………………4分
，所以四边形PQDE为平行四边形。
， ……………6分
而面，面，
故……………………………8分
（2）正方体中，BB1面ABE，故为BB1高，BB1=2………10分
…………12分
故………14分
19.解：（1）…………………………………1分
时，………………2分
时，，………………………3分
两式相减得：，，………5分
是以为首项，为公比的等比数列. ………………6分
…………………………………………7分
(2) ，则，…………9分
①
②…………………10分
①-②得：……………11分
…………13分
……14分
20．（1）解：依题意，，，
整理得 ………………………………2分
解得 ，． ………………………………3分
所以 椭圆的方程为． ………………………4分
（2）证明：由于//，设直线的方程为，将其代入，消去，
整理得． ………6分
设，．
所以 ………8分
证法一：记△的面积是，△的面积是．
由，，
则………………10分
因为 ，所以 ，…13分
从而． ………………………………………14分
证法二：记△的面积是，△的面积是．
则线段的中点重合． ………………10分
因为 ，所以 ，．
故线段的中点为．
因为 ，，所以 线段的中点坐标亦为．……13分
从而． ………………………………………14分
21.解：（1）的定义域为………………………………………………1分
，…………………………………………2分
故单调递增；
单调递减，…………………3分
时，取得极大值，无极小值。……………………………4分
（2），，
若函数在上单调递增，
则对恒成立…………………………………5分
，只需………………6分
时，，则，，………7分
故，的取值范围为…………………………………8分
（3）假设存在，不妨设，
………………………9分
…………………………………………10分
由得，整理得………11分
令，，…12分，
在上单调递增，………………………………………13分
，故
不存在符合题意的两点。…………………………14分
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