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2014江门市一模
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。
4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。
5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是锥体的底面积， 是锥体的高．
如果事件 、 互斥，那么 ．
独立性检验临界值表
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数 （ 是虚数单位）对应的点在
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．从2、3、5、7这四个质数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数是
A． B． C． D．
3．已知函数 为奇函数，且当 时， ，则
A． B． C． D．
甲 乙
4 6 2 2 5
3 3 6 8 3 2 3 4
3 7 9 4 3 3 5
1 5 1 2
4．将甲、乙两个篮球队10场比赛的得分数据
整理成如图1所示的茎叶图，由图1可知
A．甲、乙两队得分的平均数相等
B．甲、乙两队得分的中位数相等
C．甲、乙两队得分的极差相等
D．甲、乙两队得分在 分数段的频率相等
5．在平面直角坐标系 中，已知 ， ，若 ，则
A． B． C． D．
6．已知两条不重合直线 、 的斜率分别为 、 ，则“ ”是“ ”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．非充分非必要条件 D．充要条件
7．如图2，在正方体 中， 是
棱 的中点， 是侧面 上的动点，
并且 平面 ，则动点 的轨迹是
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．线段
8．设函数 ， ，若实数 ， 满足 ， ，则
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
(一)必做题（9～13题）
9．已知命题 ： ， ．
则命题 的否定 ： ．
10．执行如图3的程序框图，输出的 ．
11．定积分 ．
12．已知直线 过点 和 （ ），
则直线 斜率的取值范围是 ，
倾斜角的取值范围是 ．
13．某个部件由三个元件如图4方式连接而成，元件A
或元件B正常工作，且元件C正常工作，则部件正
常工作．若3个元件的次品率均为 ，且各个元件
相互独立，那么该部件的次品率为 ．
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系 中，抛物线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，直角坐标系的长度单位为长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ．若直线 经过抛物线 的焦点，则常数 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图5， 是圆
的弦， 是 的垂直平分线，切线
与 的延长线相交于 ．若 ，
，则圆 的半径 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数 ， ．
⑴求 的值；
⑵若将 的图象向右平移 （ ）个单位，所得到的曲线恰好经过坐标原点，求 的最小值．
17．（本小题满分14分）
随机询问某大学40名不同性别的大学生在购买食物时是否读营养说明，得到如下列联表： 性别与读营养说明列联表
男 女 总计
读营养说明 16 8 24
不读营养说明 4 12 16
总计 20 20 40
⑴根据以上列联表进行独立性检验，能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与是否读营养说明之间有关系？
⑵从被询问的16名不读营养说明的大学生中，随机抽取2名学生，求抽到男生人数 的分布列及其均值（即
数学期望）．
（注： ，其中 为样本容量．）
18．（本小题满分14分）
如图6，四棱锥 的底面 是平行四边形， 底面 ， ， ， ， ．
⑴求证： ；
⑵ 是侧棱 上一点，记 ，是否存在实数 ，使 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
19．（本小题满分12分）
已知数列 的首项 ， ， ．
⑴求数列 的通项公式；
⑵求证： ， ．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆 的焦点为 、 ，点 在椭圆 上．
⑴求椭圆 的方程；
⑵设双曲线 ： （ ， ）的顶点 、 都是曲线 的顶点，经过双曲线 的右焦点 作 轴的垂线，与 在第一象限内相交于 ，若直线 经过坐标原点 ，求双曲线 的离心率．
21．（本小题满分14分）
已知函数 ， ， 是常数．试证明：
⑴ ， 是函数 的图象的一条切线；
⑵ ，存在 ，使 ．
一、选择题 BCAA CDDB
二、填空题 ⒐ （3分）， （ 写作 亦可，但要统一，否则只计1处得分； 写作 扣1分）
⒑ ⒒ ⒓ （3分）， （1分＋1分）
⒔ ⒕ ⒖
三、解答题
⒗⑴ ……4分（代入1分，三角函数值2分，结果1分）
⑵向右平移 个单位，所得到的曲线为 ……6分
曲线经过坐标原点，得 ……7分
化简（和差化积或积化和差），得 （或 ）……10分
， ……11分， ， 的最小正值为 ……12分．
（若学生在第⑴问化简函数，则相应的分值仍然计入第⑵问）
⒘⑴由表中数据，得 ……4分（列式2分，计算1分，比较1分），
因此，能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为性别与读营养说明有关……5分
⑵ 的取值为0，1，2……6分
， ， ……12分
的分布列为
……13分
的均值为 ……14分．
⒙⑴连接 ，则 ……1分
（方法一） 底面 ，所以 ， ……2分
， ……3分
，所以 ， ……4分
因为 ，所以 ……5分
（方法二） ，所以 ， ……2分
底面 ，所以 ……3分
因为 ，所以 平面 ……4分
因为 平面 ，所以 ……5分
⑵（方法一）过 作 于 ，则 平面 ……6分
连接 ，由⑴知 平面 当且仅当 ……7分
又 ，所以 平面 ……8分， ……9分
依题意， ，所以 ， ……10分， 是 的平分线，从而也是 的平分线……11分
在 和 中， ， ……12分
所以 ……13分， ，即所求 的值为 ……14分．
（方法二）在平面 内过点 作 ，以 为原点， 、 、 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系……6分
则 ， ， ……7分， ……8分
设 ，由 得， ……9分
解得 ， ， ……10分
由⑴知 平面 当且仅当 ……11分，即 ……12分
所以 ……13分
解得 ……14分．
（方法三）过 作 ，交 于 ，连接 ，则平面 即平面
……6分，由⑴知 平面 当且仅当 ……7分
由⑴及余弦定理得 ……9分
所以 ……12分
……13分，又 ，所以 ……14分．
⒚⑴由 ，得 ……1分， ……2分
所以 是首项 ，公差 的等差数列……3分
……4分，所以 ， ……5分
⑵（方法一） ……6分， ……7分
时，由以上不等式得
……9分
……10分， ……11分
因为 是递增数列，所以 ， ……12分．
（方法二） ……6分， ……7分
时，由以上不等式得
……9分
……10分， ……11分
因为 是递增数列，所以 ， ……12分．
⒛⑴椭圆 的焦距 ……1分
长轴 ……4分
椭圆 的短轴 ……5分，所以椭圆 的方程为 ……6分
⑵设双曲线 焦距为 ，依题意， ……7分， ……8分
（方法一） ……9分，直线 的方程为 ……10分
、 、 共线，所以 ……11分，即 ……12分， ， ……13分，解得双曲线 的离心率 （ 舍去）……14分．
（方法二）依题意， ～ ……9分， ……10分
所以 ……11分，即 ……12分， ， ……13分，解得双曲线 的离心率 （ 舍去）……14分．
21．⑴ ……1分，直线 的斜率 ……2分，由 ，取 ……3分
，曲线 在点 的切线为 ，即 ，所以 是曲线 的一条切线……4分
⑵直接计算知 ……5分
设函数 ……6分
……7分
……8分
当 或 时，
……10分，因为 的图象是一条连续不断的曲线，所以存在 ，使 ，即 ，使 ……11分；
当 时， 、 ，而且 、 之中至少一个为正……12分，由均值不等式知， ，等号当且仅当 时成立，所以 有最小值 ，且 ……13分，此时存在 （ 或 ），使 。综上所述， ，存在 ，使 ……14分．
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