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韶关2014届高三年级调研测试(一)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
参考公式:锥体的体积公式 ，其中S为锥体的底面面积， 为锥体的高.
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设 集合 ， ,则 （ ）
2. 已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3．若 ，则有（ ）.
A. B. C. D.
4. 在区间 之间随机抽取一个数 ,则 满足 的概率为( )
A． . B． C. D.
5. 阅读如图的程序框图．若输入n=5，则输出k的值为( )
A. B. C. D.
6．已知椭圆与双曲线 的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ，那么椭圆的离心率等于( )
A. B. C. D.
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．
8. 函数 是（ ）
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
9. 已知向量 与 的夹角为 ,且 ,若 ,且, ,则实数 的值为( ）
A． B． C． D．
10. 已知函数 ，且函数 有且只有一个零点，则实数 的取值范围是( )
A． B． . D．
二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.
(一)必做题(11～13题)
11. 等差数列 的前 项和为 ，若 ，则
12. 设实数x、y满足 ，则 的最大值是_____________.
13．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x-85.71，给定下列结论：
①y与x具有正的线性相关关系；
②回归直线过样本点的中心（ ， ）；
③若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg；
④若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg.
其中正确的结论是 .
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆 的圆心到直线 的距离是 .
15. （几何证明选讲选做题）如图, 是圆 的直径,点 在圆 上,延长 到 使 ,过 作圆 的切线交 于 .若 , 则 _________.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分１２分)
某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所 得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是 ，样本数据分组为 ， ， ， ， .
（１）求直方图中 的值；
（２）如果上学路上所需时间不少于40分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿.
17. (本题满分１２分)
如图，在 中， ， ， ，点 是 的中点．
（1）求边 的长；
（2）求 的值和中线 的长.
18．(本题满分１４分)
如图所示的多面体中， 是菱形， 是矩形， 面 , ．
(1)求证：平 ；
(2))若 ，求四棱锥 的体积．
19．(本题满分１４分)
已知函数 .
（1）当 时，求函数 单调区间；
(2) 若函数 在区间[1,2]上的最小值为 ,求 的值.
20．(本题满分１４分)
已知 为公差不为零的等差数列，首项 ， 的部分项 、 、…、 恰为等比数列，且 ， ， .
（1）求数列 的通项公式 （用 表示）；
（2）若数列 的前 项和为 ，求 .
21．(本题满分１４分)
设抛物线 的焦点为 ，点 ，线段 的中点在抛物线上. 设动直线 与抛物线相切于点 ，且与抛物线的准线相交于点 ，以 为直径的圆记为圆 ．
（1）求 的值；
（2）证明：圆 与 轴必有公共点；
（3）在坐标平面上是否存在定点 ，使得圆 恒过点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，说明理由．
( 文科)参考答案和评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
CAAAB BCADB
1. 解析： ，所以 ，选C
2.解析： 是纯虚数，则 ； ，选A
3. 解析： ， ， ， 选A.
4.解析:区间 看作总长度为2，区间 中满足 的只是 ，长度为 ，因为 是随机抽取的一个数，由几何概型计算公式知 满足 的概率为 .答案：
5. 答案：B
6. 解析： ， ， 选B
7. 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为 ，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得 .答案：C
8. 解析： ，所以 是最小正周期为 的奇函数，选A
9. 解析： 得
选D
10. 解析：如图，在同一坐标系中分别作出 与
的图象，解析：如图，在同一坐标系中分别作出 与
的图象，其中a表示直线在y轴上截距，由图可知，当 时，
直线 与 只有一个交点.,选B
二、填空题:本大共5小题,考生作答4小题,每小题5分，满分20分.
11. 12. 13. ①②③ 14. 15.
题目解析:
11. 解析:可已知可得,
12. 解析由可行域知,当 时,
13. 解析:利用概念得到①②③正确
14.解析：如下图:
15. 解析：如下图: ，得
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．(本题满分１２分)
解：（1）由 ，………………………….4分
则 ………………………….6分
（2）上学所需时间不少于40的学生的频率为：
………………………….8分
估计学校1000名新生中有： ………………………….11分
答：估计学校1000名新生中有250名学生可以申请住宿. …………………12分
17．(本题满分１２分)
解：在 中，由 可知， 是锐角，
所以， ………………………….2分
由正弦定理 ……5分
(2)
………………………………………………8分
由余弦定理:
………………. …………………………………………………………………12分
18．(本题满分１4分)
证明：（1）由 是菱形
………………………………3分
由 是矩形
………………………………6分
（2）连接 ，
由 是菱形，
由 面 ,
，……………………………………………10分
则 为四棱锥 的高
由 是菱形， ，
则 为等边三角形，
由 ；则
， ………………………………………14分
19. (本题满分１4分)
解：（1）解： ……………１分
因为 ，所以 对任意实数 恒成立，
所以 在 是减函数…………………4分
(2)当 时，由（１）可知， 在区间[1,2]是减函数
由 得 ，（不符合舍去）…………………6分
当 时， 的两根 …………………7分
①当 ，即 时， 在区间[1,2]恒成立， 在区间[1,2]是增函数，由 得 …………………9分
②当 ，即 时 在区间[1,2]恒成立 在区间[1,2]是减函数
， （不符合舍去）…………………11分
③当 ，即 时， 在区间 是减函数， 在区间 是增函数；所以 无解…………………13分
综上， …………………14分
20. (本题满分１4分)
解：（1） 为公差不为 ，由已知得 ， ， 成等比数列，
∴ ，……………………………1分
得 或 ……………………………2分
若 ，则 为 ，这与 ， ， 成等比数列矛盾，
所以 ， ……………………………4分
所以 . ……………………………5分
（2）由（1）可知
∴ ……………………………7分
而等比数列 的公比 。
……………………………9分
因此 ，
∴
……………………………11分
∴
……………………………14分
解：（1）利用抛物线的定义得 ，故线段 的中点的坐标为 ，代入方程得 ，解得 。 ……………………………2分
（2）由（1）得抛物线的方程为 ，从而抛物线的准线方程为
……………………………3分
由 得方程 ，
由直线与抛物线相切，得 ……………………………4分
且 ，从而 ，即 ， ……………………………5分
由 ，解得 ， ……………………………6分
∴ 的中点 的坐标为
圆心 到 轴距离 ，
∵
所圆与 轴总有公共点. ……………………………8分
(或 由 , ,以线段 为直径的方程为:
令 得
,所圆与 轴总有公共点）.
……………………………9分
（3）假设平面内存在定点 满足条件，由抛物线对称性知点 在 轴上，设点 坐标为 ， ……………………………10分
由（2）知 ，
∴ 。
由 得，
所以 ，即 或
……………………………13分
所以平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 .
……………………………14分
证法二：由（2）知 ， ， 的中点 的坐标为
所以圆 的方程为
……………………………11分
整理得
……………………………12分
上式对任意 均成立，
当且仅当 ，解得 ……………………………13分
所以平面上存在定点 ，使得圆 恒过点 .
……………………………14分
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