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惠州市2014届高三第二次调研考试
数 学 (理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
参考公式： 球的体积公式：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．复数 的虚部为（ ）
2．设集合 ，集合 为函数 的定义域，则 （ ）
3．设 是等差数列 的前 项和， ,则 （ ）
4. 按右面的程序框图运行后,输出的 应为（ ）
5.“ ”是“直线 : 与 : 平行”的（ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充分必要条件 既不充分也不必要条件
6． 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是 的圆，则这个几何体的体积是 （ ）
7．采用系统抽样方法从 人中抽取 人做问卷调查，为此将他们随机编号为 , ，……， ，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 .抽到的 人中，编号落入区间 的人做问卷 ，编号落入区间 的人做问卷 ，其余的人做问卷 .则抽到的人中，做问卷 的人数为 （ ）
8．已知函数 且函数 的零点均在区间 内，圆 的面积的最小值是（ ）
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
9．若向量 则 .
10. 若 ，则 = .
11. 已知变量 满足约束条件 则 的最大值为 .
12. 若 展开式的常数项是 ，则常数 的值为 .
13．已知奇函数 则 的值为 .
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14．（坐标系与参数方程选做题）已知点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的距离的最小值是________.
15.（几何证明选讲选做题）如图， 是圆 的直径
延长线上一点， 是圆 的切线， 是切点， ，
， ， = ．
三、解答题：（本大题共6小题，满分80分．须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤．）
16．（本小题满分12分）
已知函数 .
(1)求函数 的最小正周期和最值；
(2)求函数 的单调递减区间．
17．（本题满分12分）
若盒中装有同一型号的灯泡共 只，其中有 只合格品， 只次品。
（1） 某工人师傅有放回地连续从该盒中取灯泡 次，每次取一只灯泡，求 次取到次品的概率；
（2） 某工人师傅用该盒中的灯泡去更换会议室的一只已坏灯泡，每次从中取一灯泡，若是正品则用它更换已坏灯泡，若是次品则将其报废（不再放回原盒中），求成功更换会议室的已坏灯泡所用灯泡只数 的分布列和
数学期望．
18.（本小题满分14分）
四棱锥 底面是平行四边形，面 面 ,
, , 分别为 的中点.
（1）求证： ；
（2）求二面角 的余弦值.
19．（本小题满分14分）
已知数列 的前 项和是 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求适合方程 的正整数 的值．
20．（本小题满分14分）
已知左焦点为 的椭圆过点 ．过点 分别作斜率为 的椭圆的动弦 ，设 分别为线段 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若 为线段 的中点，求 ；
（3）若 ，求证直线 恒过定点，并求出定点坐标．
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）当 时，求函数 在 上的极值；
（2）证明：当 时， ；
（3）证明： .
惠州市2014届高三第二次调研考试
一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D A A
1.【解析】因为 。故选B
2.【解析】集合 ，集合B为函数 的定义域，所以 ，所以 （1，2]。故选D
3【解析】 得 ，即 ，所以 ，选B
4.【解析】第一次循环： ，不满足条件，再次循环；
第二次循环： ，不满足条件，再次循环；
第三次循环： ，不满足条件，再次循环；
第四次循环： ，不满足条件，再次循环；
第五次循环： ，满足条件，输出S的值为40.
故选C
5.【解析】由直线 : 与 : 平行，得 ，所以“ ”是“直线 : 与 : 平行”的充分不必要条件。故选A
6.【解析】由题知该几何体是挖去 个球的几何体。所以 .故选D
7.【解析】由系统抽样的原理知将960人分30组，所以第一组抽450/30=15人，第二组抽（750-450）/30=10，第三组抽32-15-10=7人。故选A
8.【解析】∵f（x）=1+x﹣ ，
∴当x＜﹣1或x＞﹣1时，f'（x）=1﹣x+x2﹣x3+…+x2012= ＞0．
而当x=﹣1时，f'（x）=2013＞0
∴f'（x）＞0对任意x∈R恒成立，得函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的增函数
∵f（﹣1）=（1﹣1）+（﹣ ﹣ ）+…+（﹣ ﹣ ）＜0，f（0）=1＞0
∴函数f（x）在R上有唯一零点x0∈（﹣1，0）
∴b﹣a的最小值为0-（-1）=1.
∵圆x2+y2=b﹣a的圆心为原点，半径r=
∴圆x2+y2=b﹣a的面积为πr2=π（b﹣a）≤π，可得面积的最小值为π。故选：A
二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．（-2，-4） 10． 11．1 12．4 13．-8 14． 15．
9.【解析】因为 所以
10.【解析】 得 ，
又
11.【解析】?由可行域知直线过点（1,0）时取得最大值1
12.【解析】 ，由 ，所以 。
13.【解析】因为函数 为奇函数，所以 ，即 。所以 。
14.【解析】曲线 即 ，表示圆心在（1，0），半径等于1的圆，直线 =4，即 ，圆心（1，0）到直线的距离等于 ，所以点A到直线 =4的距离的最小值是 。
15.【解析】连结PO，因为PD是⊙O的切线，P是切点，∠D=30°，所以∠POC=60°，
并且AO=2，∠POA=120°，PO=1
在△POA中，由余弦定理知，
三、解答题：
16. （本小题满分12分）
解：(1)f(x) …………………………3分
…………………………4分
当 即 时，f(x)取最大值2；…………5分
当 即 时，f(x)取最小值-2…………6分
(2)由 ， ………………………8分
得 ………………………10分
∴单调递减区间为 . ………………………12分
17（本小题满分12分）
解：解：设一次取次品记为事件A，由古典概型概率公式得： ……2 分
有放回连续取3次，其中2次取得次品记为事件B，由独立重复试验得： ………4分
（2）依据知X的可能取值为1.2.3………5分
且 ………6分 ………7
………8分
则X的分布列如下表：
X 1 2 3
p
……10分
………12分
18（本小题满分14分）
解: （1） -----2分
,所以 ---4分
---6分
(2)取 的中点 , ---8分
是二面角
的平面角 ----------------------------10分
知
--------------------12分
即二面角 的余弦值为 ---------------14分
解法二 （1）
所以
………………………………2分
建系 令
,
……………………..4分
因为平面PAB的法向量
…………..6分
(2) 设平面PAD的法向量为
, …………8分
…………10分
令 所以 …………12分
平面PAB的法向量 ……13分
，即二面角 的余弦值为 .................14分
说明：其他建系方法酌情给分
19（本小题满分14分）
（1） 当 时， ，由 ，得 ……………………1分
当 时，∵ ， ， …………………2分
∴ ，即
∴ …………………………………………5分
∴ 是以 为首项， 为公比的等比数列．…………………………………6分
故 …………………………………………7分
（2） ， ……………9分
…………………………………………11分
…13分
解方程 ，得 …………………………………………14分
20（本小题满分14分）
解 （1）由题意知 设右焦点
………………2分
椭圆方程为 ………………4分
（2）设 则 ① ②………………6分
②-①，可得 ………………8分
（3）由题意 ，设
直线 ，即 代入椭圆方程并化简得
………………10分
同理 ………………11分
当 时， 直线 的斜率
直线 的方程为
又 化简得 此时直线过定点（0， ）………13分
当 时，直线 即为 轴，也过点（0， ）
综上，直线过定点（0， ） ………………14分 21（本小题满分14分）
解 （1）当
……………1分
变化如下表
+ 0 - 0 +
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
， ……………4分
（2）令
则 ………………………6分
上为增函数。 ………………8分
…………………9分
（3）由（2）知 …………………10分
令 得， …………12分
…………13分
…………14分
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