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2014年葫芦岛市高三第一次模拟考试
参考答案及评分标准
一.选择题:每小题5分,总计60分
题号123456789101112答案ACBBBCCDDAAD二.填空题:每小题5分,总计20分.
13. 2414. 15. 16. 2三.解答题:
17.解：设等差数列的首项为,公差为,
由解得因此)n-1.则Tn=c1+c2+…+cn
∴①
② ---------------------6分
①—②,得
---------------10分
所以 --------12分
18.(本小题满分12分)
（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，
所以 . ……………… 1分
因为平面平面，且四边形是矩形，
所以 平面， ……………… 2分
又因为 平面，
所以 . ……………… 3分
因为 ，
所以 平面. ……………… 4分
（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，
因为四边形是矩形，分别为的中点，
所以 ，
又因为 平面，所以 平面，
由，得两两垂直.
所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间
直角坐标系. ……………… 5分
因为底面是边长为2的菱形，，，
所以 ，，，，，. ………………6分
因为 平面，
所以平面的法向量. …………7分
设直线与平面所成角为，
由 ，
得
，
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分
（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.
设平面的法向量为，
所以 ………………10分
即
令，得. ………………11分
由平面，得平面的法向量为，
则. …………13分
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为. ………………14分
19．（本题满分12分）
解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，1分
=………………………………………4分
（Ⅱ）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为： (k=0,1,2,3)…………………………6分
P……………………8分
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，
一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则
∴EY=366×0.7≈256
∴一年中平均有2天的空气质量达到一级或二级分
=3
又∵c=1
∴b2=3 a2=4
∴椭圆C的方程为：+=1………………………………………………………4分
（2）当直线l与x轴垂直时，直线l即为y轴，此时A(0,-)、B(0,)
|PA|=3-,|PB|=3+ 由题意：=+ 解得：|PC|=
∴C（0，-3）
(2) 当直线l与x轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3.
与椭圆方程+=1联立并消元整理得：（4k2+3)x2-24kx+24=0 ………………①
Δ=(24k)2-4(4k2+3)×24=96(2k2-3)>0 ∴k2>
设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是方程①的两个解，由韦达定理得：
x1+x2=,x1x2=
|PA|2=x12+(y1+3)2=x12+(kx1-3+3)2=(1+k2)x12
|PB|2=x22+(y2+3)2=x22+(kx2-3+3)2=(1+k2)x22
|PC|2=x2+(y+3)2=x2+(kx-3+3)2=(1+k2)x2
由题意：=+
∴=+
即=+===
∴x2=
又∵点C在直线上，∴y=kx-3 k= 代入上式并化简得：8（y+3)2-3x2=24
即-=1
∵k2> ∴00 ∴h(x)在[0，+∞）上单调递增
∴h(x)≥h(0)=0 即(((x)≥0 ∴((x)在[0，+∞）上单调递增
∴((x)≥((0)=0 ∴f(x)≥g(x) ∴当k≤0时不合题意；
③当00,当x∈(0,)时，h(x)单调递增，
∴h(x)>0 即(((x)>0 ∴((x)在(0,)上单调递增 ∴((x)>0
即f(x)>g(x) ∴不合题意
综上，k的取值范围是[,+∞)
(3)由（2）知（取k=):(1+x)ln(1+x)≤x2+x;
变形得：ln(1+x)≤==((1+x)-
取x=n-1 得:lnn≤(n-) 即：+2lnn≤n
∴+2ln1≤1
+2ln2≤2
+2ln3≤3
…
+2lnn≤n
以上各式相加得：（+++…+）+2（ln1+ln2+ln3+…+lnn）≤1+2+…+n
即：Sn+2lnn!≥
22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
，则，又，
则，即，
则、、、四点共圆.……………5分
(2)由直角三角形的射影原理可知，
由与相似可知：，
，，
则，即.……………………10分
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程（）原不等式等价于
或………3分
解，得即不等式的解集为 ………5分
（） …………8分 。 ……………10分
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