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（完卷时间120分钟，满分150分）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求将最终结果直接填写答题纸上相应的横线上，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
已知，，则 ．
已知集合，，若，则实数的取值范围
是 ．
设等差数列的前项和为，若，，
则等于 ．
若是纯虚数（是虚数单位），则实数的值为 ．
抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是 ．
执行右图的程序框图，如果输入，则输出的值为 ．
不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
若是展开式中项的系数，
则 ．
已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 ．
若点在曲线（为参数，）上，则的取值范围是 ．
从这个整数中任意取个不同的数作为二次函数的系数，则使得的概率为 ．
已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆上任意一点，点的坐标为，则取最大值时，点的坐标为 ．
13、已知、、为直线上不同的三点，点直线，实数满足关系式
，有下列命题：
①； ② ；
③ 的值有且只有一个； ④ 的值有两个；
⑤ 点是线段的中点．
则正确的命题是 ．（写出所有正确命题的编号）
14、已知数列的通项公式为，数列的通项公式为，
设若在数列中，对任意恒成立，则实数的取值范围是 ．
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二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B铅笔涂黑，选对得5分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律得零分．
15、若，则“成立”是“成立”的 （ ）
（A）充分非必要条件 （B）必要非充分条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
16、下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
17、已知和是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出的是 （ ）
（A）且 （B）且
（C）且 （D）且
18、对于函数，若存在区间，使得，
则称函数为“可等域函数”，区间为函数的一个“可等域区间”．
给出下列4个函数：
①；②；
③； ④．
其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为 （ ）
（A）①②③ （B）②③ （C）①③ （D）②③④
三、解答题（本大题共5题，满分74分）每题均需写出详细的解答过程．
19、（本题满分12分）本题共有2小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分6分．
在△中，角、、所对的边长分别为、、，
且．
（1）若，，求的值；
（2）若，求的取值范围．
20、（本题满分14分）本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
如图，几何体中，为边长为的正方形，为直角梯形，，，，，．
（1）求异面直线和所成角的大小；
（2）求几何体的体积．
21、（本题满分14分） 本题共有2小题，第（1）小题满分7分，第（2）小题满分7分．
为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本（万元）与处理量（吨）之间的函数关系可近似的表示为：
，且每处理一吨废弃物可得价值为万元的某种产品，同时获得国家补贴万元．
（1）当时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；
如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？
（2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？
22、（本题满分16分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．
已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．
23、（本题满分18分）本题共有3小题，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分，第（3）小题满分8分．
如图，圆与直线相切于点，与正半轴交于点，与直线在第一象限的交点为. 点为圆上任一点，且满足，动点的轨迹记为曲线．
（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线和分别交曲线于点、和、，求四边形面积的最大值，并求此时的的值．
（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
2014年上海市高三年级 六校联考
一、填空题
1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
11. 12. 13．①③⑤ 14．
二、选择题
15. C 16. A 17. C 18. B
三、解答题
19. 解：（1）在△中，．
所以．
，所以． ………………3分
由余弦定理，
得．
解得或． ………………6分
（2）
. ………………9分
由（1）得，所以，，
则.
∴.
∴.
∴的取值范围是. ………………12分
20. 解：（1）解法一：在的延长线上延长至点使得,连接.
由题意得，，，平面，
∴平面，∴，同理可证面.
∵ ，，
∴为平行四边形，
∴.
则（或其补角）为异面直线和
所成的角. ………………3分
由平面几何知识及勾股定理可以得
在中，由余弦定理得
．
∵ 异面直线的夹角范围为，
∴ 异面直线和所成的角为． ………………7分
解法二：同解法一得所在直线相互垂直，故以为原点，所在直线
分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ………………2分
可得，
∴ ，
得. ………………4分
设向量夹角为，则
．
∵ 异面直线的夹角范围为，
∴ 异面直线和所成的角为． ………………7分
（２）如图，连结，过作的垂线，垂足为，则平面，且.
………………9分
∵ ……………11分
.
∴ 几何体的体积为.……14分
21. 解：（1）根据题意得，利润和处理量之间的关系：
………………2分
，.
∵，在上为增函数，
可求得. ………………5分
∴ 国家只需要补贴万元，该工厂就不会亏损． ………………7分
（2）设平均处理成本为
………………9分
， ………………11分
当且仅当时等号成立，由 得．
因此，当处理量为吨时，每吨的处理成本最少为万元． ………………14分
22. 解：（1）由题意得
，，或. ………………2分
故数列的前四项为或. ………………4分
（2）∵成公比为的等比数列，
成公比为的等比数列
∴，
又∵成等差数列，
∴.
得，， ………………6分
，
∴，，即.
∴ 数列数列为公差等差数列，且或. ……8分
∴或. ………………10分
（3）当时，由（2）得.
，，
，
. ………………13分
当时，同理可得，. ………………16分
解法二：（2）对这个数列，猜想， 下面用
数学归纳法证明：
ⅰ）当时，，结论成立.
ⅱ）假设时，结论成立，即.
则时，
由归纳假设，. 由成等差数列可知，于是，
∴ 时结论也成立.
此时.
∴或. ………………10分
（3）对这个数列，猜想奇数项通项公式为.
显然结论对成立. 设结论对成立，考虑的情形.
由（2），且成等比数列，
故，即结论对也成立.
从而由
数学归纳法原理知.于是（易见从第三项起每项均为正数）以及，此时. ………………13分
此时. ………………16分
23. 解：（1）由题意圆的半径，
故圆的方程为. ………………2分
由得，，
即，得
（）为曲线的方程.（未写范围不扣分）…4分
（2）由得，，
所以，同理. ………………6分
由题意知 ，所以四边形的面积.
，
∵ ，∴ . ………………8分
当且仅当时等号成立，此时.
∴ 当时，四边形的面积最大值为. ………………10分
（3）曲线的方程为（），它关于直线、和原点对称，下面证明：
设曲线上任一点的坐标为，则，点关于直线的对称点为，显然，所以点在曲线上，故曲线关于直线对称，
同理曲线关于直线和原点对称.
可以求得和直线的交点坐标为
和直线的交点坐标为，
，，，.
在上取点 .
下面证明曲线为椭圆：
ⅰ）设为曲线上任一点，则
（因为）
.
即曲线上任一点到两定点的距离之和为定值.
ⅱ）若点到两定点的距离之和为定值，可以求得点的轨迹方程为（过程略）.
故曲线是椭圆，其焦点坐标为. ………………18分
第（3）问说明：
1. ⅰ）、ⅱ）两种情形只需证明一种即可，得5分，
2. 直接写出焦点的坐标给3分，未写出理由不扣分.
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