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2014
东城一模考试文科
数学试题答案
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
学校_____________班级_________姓名__________考号__________
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
选择题部分（共40分）
一 、选择题： 本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P∩（CUQ）=
A.{1，2，3，4，6} B.{1，2，3，4，5}
C.{1，2，5} D.{1,2}
2. 在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
A. 众数 B..平均数 C.中位数 D.标准差
3. 已知i是虚数单位，若,则z的共轭复数为
A 1-2i B 2-4i C D 1+2i
4．设是直线，a，β是两个不同的平面,
A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β
5． 函数的最大值与最小值之差为
A B. 4 C. 3 D.
6．“是函数在区间内单调递增”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7．已知双曲线：的离心率为2.若抛物线
的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为
A. B. C. D.
8．已知，且
，现给出如下结论：
①；②；③；④.
其中正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
非选择题部分（共110分）
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 已知变量x、y满足条件则的最大值是______.
10. 经过圆的圆心，且与直线垂直的直线
方程是 ．
11. 曲线在点（0,1）处的切线方程为 .
12. 在数列， ，
13. 已知平面向量，．若，
则_____________．
14. 定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离，已知
曲线C1：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线C2：x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距
离，则实数a=_______.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=3，sinC=2sinA，求△ABC的面积.
16. （本题满分14分）
如图，在三棱锥中，⊿是等边三角形，
∠PAC=∠PBC=90 o
（Ⅰ）证明:：AC=BC；
（Ⅱ）证明：AB⊥PC；
（Ⅲ）若，且平面⊥平面，
求三棱锥体积.
17. （本题满分13分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆):
轿车A轿车B轿车C舒适型100150z标准型300450600按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆.
(Ⅰ) 求z的值；
(Ⅱ) 用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率；
(Ⅲ) 用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.
18．设函数
（Ⅰ）设，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（Ⅱ）设，若对任意，有，求的取值范围．
已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，点分别在椭圆和上，，求直线的方程．
m的有穷数列数集，记（k=1,2,…,m），即为中的最大值，并称数列是的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.
（Ⅰ）若各项均为正整数的数列的控制数列为2,3,4,5,5，
写出所有的；
（Ⅱ）设是的控制数列，满足（C为常数，k=1,2,…,m）.求证：（k=1,2,…,m）.
东城区2013-2014学年度第二学期教学检测
一 、选择题：1.D; 2.D; 3.A; 4.B; 5.A; 6.C;; 7.D; 8.C.
二、填空题: 9. 6; 10.; 11. ;
12. ; 13. ; 14.
三、解答题：
15.（本题满分12分）
（Ⅰ）bsinA=acosB，
由正弦定理可得，
即得，. . ………………5分
（Ⅱ）sinC=2sinA，由正弦定理得，
由余弦定理，，
解得，.
△ABC的面积= ………………12分
16. （本题满分14分）
（Ⅰ）因为是等边三角形，,
所以,可得.
………………3分
（Ⅱ）如图，取中点，连结,,
则,,
所以平面,
所以. ．．．．．．7分
(Ⅲ)作，垂足为，连结．
因为，
所以，．
由已知，平面平面，故．
因为，所以都是等腰直角三角形。
由已知，得， 的面积．
因为平面，
所以三棱锥的体积 ．．．．．．14分
17. （本题满分13分）
: (Ⅰ).设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得,,
所以n=2000. z=2000-100-300-150-450-600=400 ．．．．．．3分
(Ⅱ) 设所抽样本中有m辆舒适型轿车,
因为用分层抽样, 所以,解得m=2,
即抽取了2辆舒适型轿车, 3辆标准型轿车,分别记作S1,S2;B1,B2,B3,
则从中任取2辆的所有基本事件为(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),(B1 ,B2), (B2 ,B3) ,(B1 ,B3)共10个,
其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件: ,(S1, B1), (S1, B2) , (S1, B3) (S2 ,B1), (S2 ,B2), (S2 ,B3),( (S1, S2),所以从中任取2辆,至少有1辆舒适型轿车的概率为. ．．．．．．9分
(Ⅲ)样本的平均数为,
那么与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的数为9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0这6个数,总的个数为8,
所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为.. ．．．．．．13分
18．（）当
．
又当，
．
（）当时，．
对任意上的最大值 与最小值之差,据此分类讨论如下：
（），．
（），
．
（），
．
综上可知，．（）由已知可设椭圆的方程为，
其离心率为，故，则．
故椭圆的方程为． ．．．．．．5分
（）两点的坐标分别为，
由及（）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为．
将代入中，得，
所以，
将代入中，得，
所以，
又由，得，即．
解得，故直线的方程为或．
为：2, 3, 4, 5, 1； 2, 3, 4, 5,； 2, 3, 4, 5,；2, 3, 4, 5, 4； 2, 3, 4, 5,，
，
所以.
因为，，
所以，即.
因此，. ……13分
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