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2014年
宜昌二调考试理科
数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．若已知两个变量具有线性相关关系，且它们正相关，则其线性回归直线的斜率为正
B．直线垂直于平面的充要条件为垂直于平面内的无数条直线
C．若随机变量，且，则
D．已知命题，则
4．已知中心在原点的双曲线，其右焦点为，且到其中一条渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．一个多面体的三视图如图所示，其中正视图是正方形，侧视图是等腰三角形，则该几何体的表面积为（ ）
A．158 B．108 C．98 D．88
6．已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（ ）
A．-15 B．15 C．-5 D．5
7．若函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能是（ ）
A．-1 B．-2 C．1 D．2
8．设点是区域内的随机点，函数在区间上是增函数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．已知是非零向量，它们之间有如下一种运算：，其中表示的夹角．给出下列命题：
①；②；③；
④；⑤若，则，其中真命题的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．已知直线和圆，点在直线上，为圆上两点，在中，，过圆心，则点的横坐标的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．
（一）必考题（11—14题）
11．直线的倾斜角为，则的值为 ．
12．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是 ．
13．一物体在力（单位：）的作用下，沿着与力相同的方向，从处运动到处（单位：），则力所做的功为 ．
14．数列的前项组成集合，从集合中任取（）个数，其所有可能的个数的乘积的和为（若只取一个数，则规定乘积为此数本身），记．例如：
当时，；
当时，．
则，（1） ；（2） ．
（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你多选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题做答结果计分．）
15．（选修4—1：几何证明选讲）如图，在中，是的平分线，的外接圆交于点，，则的长为 ．
16．（选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点为直线上一点，点为曲线（为参数）上一点，则的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）在中，三个内角所对的边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）求的最大值．
18．（本小题满分12分）数列的前项和记为．
（1）当为何值时，数列是等比数列；
（2）在（1）的条件下，若等差数列的前项和有最大值，且，又、、成等比数列，求．
19．（本小题满分12分）某公司从某大学招收毕业生，经过综合测试，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到“甲部门”工作，180分以下者到“乙部门”工作，另外只有成绩高于180分的男生才能担任“助理工作”．
（1）如果用分层抽样的方法从“甲部门”人选和“乙部门”人选中选取8人，再从这8人中选3人，那么至少有一人是“甲部门”人选的概率是多少？
（2）若从所有“甲部门”人选中随机选3人，用表示所选人员中能担任“助理工作”的人数，写出的分布列，并求出的
数学期望．
20．（本小题满分12分）如图所示，在直三棱柱中，，平面，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）在上是否存在一点，使得，若存在，试确定的位置，并求此时二面角的大小．
21．（本小题满分13分）已知椭圆的焦距为2，且与直线相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（在的右侧），直线相交于点，求证：点在一条定直线上．
22．（本小题满分14分）已知函数．
（1）当，求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）已知均为正实数，且，求证：
．
宜昌市201届高12345678910答案DCABDBACBD10、设，则圆心到直线的距离，由直线与圆相交，得．解得
二、填空题
11、 12、 13、 14、（1）（2） 15、 16、
三、解答题
17、（Ⅰ）由正弦定理
即 3分
由余弦定理得 ∵ ∴ 5分
（Ⅱ）由（1）得
则 7分
10分
∵ ∴
∴当即时，有最大值 12分
18、（）由，可得，
两式相减得
∴当时，是等比数列
要使时，是等比数列，则只需，从而．
（）设的公差为，由得，于是
故可设，又，
由题意可得
解得
∵等差数列的前项和有最大值，∴
∴．
19、（Ⅰ）用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率为
根据茎叶图，甲部门人选人，乙部门人选人
∴选中的甲部门人选有人，乙部门人选有人 3分
用表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则它的对立事件表示“没有一名甲部门人选被选中”，则
故至少有一人是“甲部门”人选的概率是 5分
（Ⅱ）依题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数的取值分别为 6分
10分
∴的分布列为
∴ 12分
20、（Ⅰ）∵ ∴四边形为正方形 ∴ 2分平面 ∴ ∴面 ∴ 4分中，
∴平面 5分，
∵为的中点，且 ∴
又∵平面 ∴
∴
在中，由余弦定理得
即
∴ 即是的中点 9分
∵、分别为、的中点 ∴
∵平面 ∴平面
又∵平面 ∴平面平面 11分
故二面角的大小为 12分
21、（Ⅰ）∵椭圆的焦距为 ∴ 且
于是椭圆方程为
将代入得 2分
∵直线与椭圆相切 ∴
即 ∵ ∴ 则
故所求椭圆方程为 4分
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为
联立方程得
∵直线与椭圆交于两点
∴
由韦达定理得 6分
则
又在的右侧 ∴ 8分 ∴
设直线、相交于点 由上面两直线方程消去得
12分在定直线上。 13分时， 则
则
∴函数的图像在时的切线方程为 3分在上单调递增 ∴在上无解
当时，在上无解满足
当时，只需 ∴ ① 5分
∵函数在上单调递增 ∴在上恒成立
即在上恒成立
设
∵ ∴ 则在上单调递增
∴在上的值域为 7分在上恒成立 则 ②
综合①②得实数的取值范围为 9分（）时，在上单调递增 10分时，
当时， 12分 即，
同理有，
三式相加得 14分
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