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2014
长春二模考试理科
数学试题答案（word版）
数 学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅱ卷考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.
1设集合，集合，则下列关系中正确的是
A．B．C．D．
2设是虚数单位，则等于
A．B．C．D．
3．,,,若为实数，，则的值为
A．B．C．D．：函数的图象恒过定点；命题：若函数为偶函数，则函数的图象关于直线对称，则下列命题为真命题的是
A．B．C． D.
5. 运行如图所示的程序框图，若输出的是，则①应为
A． B． C．D．
6．以下四个命题中：
①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；③在某项测量中，测量结果服从正态分布若内的概率为，则内的概率为；④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，与有关系的把握越大其中真命题的为
A．①④B．②④C．①③D．②③
．和直线，抛物线上一动点到直线
和直线的距离之和的最小值是
A．B．C．D．．计划排球、篮球、球个项目的比赛在个不同的体育馆举办，每个项目的比赛只能安排在一个体育馆进行，则在同一个体育馆比赛的项目不超过个的安排方案共有
A．种B．种C．种D．种某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为A．B．C．D．．，则的图象大致为
11.已知直线与双曲线交于，两点(，在同一支上),为双曲线的两个焦点,则在
A．以，为焦点的椭圆上或线段的垂直平分线上
B．以，为焦点的双曲线上或线段的垂直平分线上
C．以为直径的圆上或线段的垂直平分线上
D．以上说法均不正确
12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第题为必考题，每个试题考生都必须答。第题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13,则= .
14．设的展开式的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为 .
15．用一个边长为的正三角形硬纸，沿各边中点连线垂直折
起三个小三角形，做成一个蛋托，半径为的鸡蛋（视为
球体）放在其上（如图），则鸡蛋中心（球心）与蛋托底
面的距离为 .
16．已知数列中,,,,
则……= .
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分12分）
已知为锐角，且，函数，数列的首项，.
（1）求函数的表达式（2）求数列的前项和（本小题满分12分）小型风力发电一类风区二类风区平均风速m/s8.5106.5～8.5假设投资A项目的资金为（≥0）万元，投资B项目资金为（≥0）万元，调研结果是：未来一年内，位于一类风区的A项目获利的可能性为，亏损的可能性为；位于二类风区B项目获利的可能性为，亏损的可能性是，不赔不赚的可能性是.
（1）A，B和，试写出随机变量与的分布列和期望，；
（2）某公司计划用不超过万元的资金投资于AB项目且公司要求对A项目的投B项目,根据（1）的条件和市场调研，试估计一年后两个项目的平均利
润之和的最大值．
19．（本小题满分12分）如图，，底面是等腰梯形，
且∥，是中点，平面，
， 是中点．
（1）证明：平面；
求与平面所成锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上 （）求椭圆方程；
（）点在圆上，在第一象限，过作圆的切线交椭圆于两点，问的周长是否为定值？如果是，求出定值如不是，说明理由（本小题满分12分）．
（1）求的单调区间和极值；
（2）设，，且，证明：.
请考生在22、23、24三题中任选一题做作，如果多做，则按所做的第一题记分.
22（本小题满分1分）如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆
的割线，过点作的垂线，交直线于点，交直线
于点，过点作圆的切线，切点为.
（1）求证四点共圆；（2）若,求的长.23．（本小题满分1分）已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
（1）的直角坐标方程；
（2）若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．
（本小题满分1分）.
（1）的解集为，求的值；
（2），使，求的取值范围.
1．【答案】：
【解析】：，或，则，故选
2．【答案】：
【解析】：，故选
3．【答案】：
【解析】：函数的图象可看出先把函数的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位，再将所得图象沿轴作翻折，最后再将所有点的坐标向上平移个单位得到，而的图象恒过，所以的图象恒过，因此为假命题；若函数为偶函数，即图象关于轴对称，的图象即整体向左平移一个单位得到，所以的图象关于直线对称，因此为假命题；参考四个选项可知，选
4．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，故选
5．【答案】：
【解析】：由程序框图算法可知，……，由于输出，即，解得，故①应为“”，故选
6．【答案】：
【解析】：①应为系统（等距）抽样；②线性相关系数的绝对值越接近1，两变量间线性关系越密切；③变量，；④ 随机变量的观测值越，判断“与有关系”的把握越大．
7．【答案】：
【解析】：由题可知是抛物线的准线，设抛物线的焦点为，则动点到的距离等于，则动点到直线 和直线的距离之和的最小值，即焦点到直线的距离，所以最小值是，故选
8．【答案】：
【解析】：若个项目分别安排在不同的场馆，则安排方案共有种；若有两个项目安排在同一个场馆，另一个安排在其他场馆，则安排方案共有种；所以在同一个体育馆比赛的项目不超过2个的安排方案共有
9．【答案】：
【解析】：由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选
10．【答案】：
【解析】：，令，则，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现与共有三个交点，横坐标从小到大依次设为，在区间上有，即；在区间有，即；在区间有，即；在区间有，即.故选
11．【答案】：
【解析】：当直线垂直于实轴时，则易知在的垂直平分线上；当直线不垂直于实轴时，不妨设双曲线焦点在轴，分别为双曲线的左、右焦点，且、都在右支上，由双曲线定义：，，则，由双曲线定义可知，在以、为焦点的双曲线上，故选
12.【答案】：
【解析】：由，得：，即，令，则当时，，即在是减函数， ，，，
在是减函数，所以由得，，即，故选
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：，令，∴，所以直线为与的交点为和，∴直线与曲线围成图形的面积
15.【答案】：
【解析】：由题意可知蛋槽的高为，且折起三个小三角形顶点构成边长为的等边三角形，所以球心到面的距离，∴鸡蛋中心与蛋巢底面的距离为
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
所以……=
17【解析】：
（）由， 是锐角，
（）， , （常数）
是首项为,公比的等比数列,
18.【解析】：
（1）A项目投资利润的分布列
P
B项目投资利润的分布列
0P …………………………………………………………………6分
(2)由题意可知满足的约束条件为 ………………9分
由(1)可知，
当，取得最大值15.
∴对A、B项目各投资50万元，可使公司获得最大利润，最大利润是15万元.…………12分
19.【解析】：
(1) 证明： 且∥，…………2分平行且等于，即四边形为平行四边形，所以.
…………6分、交于点，连结，则平面，易证△与△全等，过作于，连，则，由二面角定义可知，平面角为所求角或其补角.
易求，又，，由面积桥求得，所以
所以所求角为，所以
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为
『解法2』：
以为原点，方向为轴，以平面内过点且垂直于方向为轴以方向为轴，建立如图所示空间直角坐标系.
则，，，
，，…………8分，，
可求得平面的法向量为
又，，
可求得平面的法向量为
则，
因此平面与平面所成锐二面角的余弦值为. …………12分：
（1）右焦点为
左焦点为，点在椭圆上
，
所以椭圆方程为5分
（2）
∴…………11分
∴（定值）…………12分
『解法2』：
设 ，
8分
连接，由相切条件知：
………………………………10分
同理可求
所以为定值12分
令则 ∴；令则 ∴
∴的单调增区间是，单调减区间是
极小值，无极大值
（2）证明：不妨设，
两边同除以得，
令，则，即证：
令
令，
， 在上单调递减，所以
即，即恒成立
∴在上是减函数，所以
∴得证
所以成立
22.【解析】：
（1）证明：连结，∵是圆的直径，
∴，
在和中，
又∵ ∴
∴四点共圆四点共圆
∵是圆的切线，∴ ∴
又因为 ∴
∴
22.【解析】：（1）因为圆的极坐标方程为
又
所以
所以圆的普通方程
（2）『解法1』：
设
由圆的方程
所以圆的圆心是，半径是
将代入得
又直线，圆的半径是，所以
所以
即的取值范围是
『解法2』：
直线的参数方程化成普通方程为：…………6分
由，
解得，…………8分
∵是直线与圆面的公共点，在线段上，
∴的最大值是，
最小值是
∴的取值范围是…………10分
24.【解析】：
由题意可得可化为，
，解得.
（2）令，
所以函数最小值为，
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