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2014
长春二模考试文科
数学试题答案（word版）仅供参考
数 学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅱ卷考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须使用05毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、不准使用涂改液、刮纸刀。
第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选填涂在答题卡上）.
1．设集合，集合，则下列关系中正确的是
A．B．C．D．
2．设是虚数单位，则等于
A．B．C．D．
3．已知向量,,,若为实数，，则A．B．C．D．4．已知命题：函数的图象恒过点；命题：若函数为偶函数，则 的图像关于直线对称，则下列命题为真命题的是
A．B．C．D．5．运行框图输出的是，则①应为A．B．
C．D．
6．以下四个命题：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；
②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于；
③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高④对分类变量与的随机变量K2的观测值k来说，k越小，“与有关系”的把握越大．其中真命题为
A．①④B．②④C．①③ D．②③
7．抛物线到焦点的距离为，则实数的值为
A．B．C． D．8．某几何体的三视图如图所示，则它的表面积为
A． B．C． D．
9．设，则
A．B．C．D．
10．已知函数，则的图象大致为
AB C D
11．已知直线与双曲线交于两点(不在同一支)，为双曲线的两个焦点则在
A．以为焦点的双曲线上 B．以为焦点的椭圆上
C．以为直径两端点的圆上 D．以上说法均不正确
12．设函数是定义在上的可导函数，其导数为，且有，则不等式的解集为
A．B．C．D．（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。第题为必考题，每个试题考生都必须答。第题为选考题，考生根据要求做答。二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．在△中，三个内角，所对的边分别为，，若 ，则 14．设变量满足约束条件，则目标函数的最大值为 15．如图，在长方体中，分别是棱，上的点（点与不重合），且∥，过的平面与棱，相交，交点分别为．设，，．在长方体内随机选取一点，则该点取自于几何体内的概率为
16．已知数列中,, ,,…= .
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（本小题满分12分）已知为锐角，且，函数，数列 的首项，.
（1）求函数的表达式；（2）求数列的前项和.
18. （本小题满分12分）
对某电子元件进行寿命追踪调查，所得频率分布直方图如下.
（），并根据图的数据分层抽样抽取个元件，寿命之间的应抽取几个（）从（）中抽出的寿命落在之间的元件中任取个元件，求事件恰好有一个寿命之间，一个寿命之间”的概率.19．（本小题满分12分）如图，，底面是等腰梯形，
且∥，是中点，平面，
， 是中点．
（1）证明：平面；求点到平面的距离.20．（本小题满分12分）如图，已知点是离心率为的椭圆：上的一点，斜率为的直线交椭圆于两点，且、、三点互不重合．
求椭圆的方程；求证：直线的斜率之和为定值．21．（本小题满分12分）已知函数在处切线为.
（1）求的解析式；
（2）设，，，表示直线的斜率，求证：.
请考生在22、23、24三题中任选一题做作，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．（本小题满分1分）如图，是圆的直径，是延长线上的一点，是圆的割线，过点作 的垂线，交直线于点，交直线 于点，过点作圆的切线，切点为.
（1）求证:四点共圆；若,求的长.23．（本小题满分1分）已知直线的参数方程为为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．
求圆的方程；
若是直线与圆面的公共点，求的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若存在，使，求的取值范围.
【解析】：，或，则，故选
2．【答案】：
【解析】：，故选
3．【答案】：
【解析】：，，又，
∴，即，解得，
故选
4．【答案】：
【解析】：函数的图象可看成把函数的图象上每一个点的横坐标向左平移一个单位得到，而的图象恒过，所以的图象恒过，则为假命题；若函数为偶函数，即的图象关于轴对称，的图象即图象整体向左平移一个单位得到，所以的图象关于直线对称，则为假命题；参考四个选项可知，选
5．【答案】：
【解析】：由程序框图算法可知，……，由于输出，即，解得，故①应为“？”，故选
6．【答案】：
【解析】：①应为系统（等距）抽样；②线性相关系数的绝对值越接近1，两变量间线性关系越强；③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越高；④．
7．【答案】：
【解析】：由抛物线方程及点可知，抛物线，排除，，又到焦点的距离为，且该抛物线准线方程为，所以，解得，故选
8．【答案】：
【解析】：由几何体的三视图可知，该几何体是一个沿旋转轴作截面，截取的半个圆锥，底面半径是1，高是2，所以母线长为，所以其表面积为底面半圆面积和圆锥的侧面积的一半以及截面三角形的面积的和，即，故选
9．【答案】：
【解析】：易知，，又，所以，∴，∴，故选
10．【答案】：
【解析】：，令，则，在同一坐标系下作出两个函数的简图，根据函数图象的变化趋势可以发现与共有三个交点，横坐标从小到大依次设为，在区间上有，即；在区间有，即；在区间有，即；在区间有，即.故选
11．【答案】：
【解析】：不妨设双曲线焦点在轴上，方程为（＞0，＞0），分别为双曲线的左、右焦点，且，分别在左、右支上，由双曲线定义：，，则，由椭圆定义可知，在以、为焦点的椭圆上.故选
12【答案】：
【解析】：由，得： ，令，则当时，，即在是减函数，
，，由题意：＞
又在是减函数，∴，即，故选
13.【答案】：
【解析】：由正弦定理，，所以，
即，∴
14.【答案】：
【解析】：作出可行域如图，令，
则，作出目标直线，经过平移，
当经过点时，取得最大值，联立
得，代入得，∴
15. 【答案】：
【解析】：因为∥，则∥，所以∥平面，过的平面交于，则∥，所以易证明几何体和是等高的五棱柱和三棱柱，由几何概型可知，长方体内任一点取自几何体内的概率.
16.【答案】：
【解析】：，，∴，
…………
17．【解析】：
（）由， 是锐角，
. ………6分
（）， （常数） ………8分
是首项为,公的等数列, . ………12分
18.【解析】：
（1）根据题意：
解得 ………………………………2分之间的应抽取个，根据分层抽样有：
………………………4分
所以寿命落在之间的元件应抽取个 ……………………………6分之间，一个寿命为之间”为事件，易知，寿命落在之间的元件有个，分别记，落在之间的元件有个，分别记为：，从中任取个元件，有如下基本事件：，，共有个基本事件. ………9分 “恰好有一个寿命落在之间，一个寿命为之间”有：
，，共有个基本事件………10分 ……………………………11分之间，一个寿命为之间”的概率为 . ………………12分19.【解析】：
(1) 证明：由题意， ∥， =
∴四边形为平行四边形，所以.
又∵， ∴∥
又平面，平面 ∴∥平面 ………4分∥平面，又
∴平面∥平面. …………6分求到平面的距离为.
因为V三棱锥A-PCD V三棱锥-ACD
即
. ………12分20.【解析】：
由题意，可得，
得，，分
解得，，，
所以椭圆的方程.分
()证明设直线的方程为，三点不重合，∴，设，，
由得
所以
② ………8分设直线的斜率分别为，
则 (*) ………10分
将①、②式代入()，
整理得，
，即直线的斜率之和为定值分，，∴由得 ………3分代入得，即，∴
∴. ………5分∴证明即证
各项同除以，即证 ………8分，则，这样只需证明即
设,,
∵，∴，即在上是增函数
∴，即 ………10分，
∴在也是在增函数
，即
从而证明了成立，所以成立. ………12分等价于
即 …………8分
先证，
问题等价于，即
设，则
∴在上是增函数，
∵，∴，∴，
得证. …………10分
再证，
问题等价于，即
设，则
∴在上是减函数，
∵，∴，∴，
得证.
综上，. …………12分
22.【解析】：
（1）证明：连结，∵是圆的直径，
∴
在和中，
又∵ ∴
∴四点共圆分四点共圆
∵是圆的切线，∴ ∴
又因为 ∴
∴. ………………………10分23．【解析】：（1）因为圆的极坐标方程为
又
所以
所以圆的直角坐标方程为：. …………………5分
由圆的方程
所以圆的圆心是，半径是
将代入得 …………………8分直线，圆的半径是，由题意有：
所以
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