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2014
益阳一模文科
数学试题答案
绝密 ★ 启用前
2014届益阳市高三模拟考试
数 学（文史类）
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，则等于
A． B．C． D．
2．已知为虚数单位，则等于
A．B．C．D．
3．某工厂有甲、乙、丙三类产品，其数量之比为，现要用分层抽样的方法从中抽取件产品进行质量检测，则乙类产品应抽取的件数为
A．B．C．D．
4．“方程有实数根”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
5．某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
A． B． C．D．
6．若向量、满足、，，则与的夹角为
A．B．C．D．
7．已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，
且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为
A．B．
C．D．
8．函数的部分图像如图所示，如果，且，则等于
A．．
．．
9．已知函数，若存在正实数，使得方程在区间上有三个互不相等的实数根，，，则的取值范围是
A． B． C．D．
10．已知点是平面区域内的动点，点，为坐标原点，设的最小值为若恒成立,则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.
11．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为________12．已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点极轴与轴的正半轴重合,且单位相同曲线的极坐标方程为，则该曲线的直角坐标方程 .
13．某程序框图如右图所示，则输出的结果为 ．
14．的图象恒过定
点A,若点A在直线上,其中,
则的最小值为_______.
15．某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为的正方形和，点是边上的一个动点，设，则．
1） ；
2）函数的零点个数是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．本小题满分12分
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
（）求的值；
（）若为的中点，求、的长.
17．（本小题满分12分）
如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以表示.
（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为，求及乙组同学投篮命中次数的
方差；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名，求这两名同学的投篮命中次数之和为17的概率.
18．本小题满分12分
如图所示,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,,
∥,.
（Ⅰ）求证:；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值；
（Ⅲ）在上找一点,使得∥平面ADEF,请确定M点的位置,并给出证明.
19．本小题满分13分
已知等比数列各项都是正数，，，.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求证：.
20．本小题满分13分
已知椭圆的右焦点为F，A为短轴的一个端点，且，的面积为1（其中为坐标原点）.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若C、D分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM，交椭圆于点，证明：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问轴上是否存在异于点C的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.
21．本小题满分13分
设函数
（Ⅰ）若，求函数在上的最小值；
（Ⅱ）若函数在存在单调递增区间，试求实数的取值范围；
（Ⅲ）求函数的极值点.
2014届益阳市高三模拟考试参考答案
一、选择题（5分×10=50分）题号12345678910答案CDBBACBDDC二、填空题（5分×5=25分） 12、 13、
14、 15、(1) (2) 2
三、解答题（本大题共6小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）
解（）,故B为锐角 ………3分
所以 …6分
（2）,
，……………9分
又D为AB中点，所以BD=7
在三角形BCD中，由余弦定理得: ……………12分
17.（本小题满分12分）
解：(1)依题意得:,解得,……………3分
方差. ……………6分（2）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为9,7.
乙组投篮命中次数低于10次的同学为,他们的命中次数分别为8,8,9.
,共6种. ……9分
设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C，则C中恰含有共2种.
.……………12分
18.（本小题满分12分）
解：（）面，面面.
,,.
取.
设,
,,
从而.…………4分（2） 即为CE与面BDE所成的角.
中,,
. ……8分（）D，∴BP∥面ADEF，M、P分别为EC、DC的中点，∥，∴MP∥面ADEF，∴面BMP∥面ADEF，∴BM∥面ADEF.……………12分
19.（本小题满分13分）
的公比为，由已知，
两式相除得：，故，.…6分
（2）由（1）知，
……………9分，则，两式相减得：
，，
，即.……………13分
解：(1)由已知:,,,
所以椭圆方程为.……………4分
（2）由（1）知，.
由题意可设.
由消去,整理得:,
.,
(定值).……9分
(3)设.
若以为直径的圆恒过的交点,
则.
由(2)可知:,
,
即恒成立,
∴存在，使得以为直径的圆恒过直线、的交点.
……………13分
21.（本小题满分13分）
解：（1）的定义域为，，在上增函数，当时，取得最小值，在上的最小值为.……………4分
（2）,设.
依题意,在区间上存在子区间使得不等式成立.
注意到抛物线开口向上,所以只要或即可.
由得,解得，
由得,得，
，即实数取值范围是.……………8分
（3），令。
1) 显然，当时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
2) 当时，
①当即时，在上恒成立，这时，此时，函数没有极值点.
②当即时，
当时，易知，这时；
当或时，易知，这时.
时，是函数的极大值点；是函数的极小值点.
综上，当时，函数没有极值点；时，是函数的极大值点；是函数的极小值点. ……13分
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