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2014南开中学二诊理科
数学答案
重庆南开中学高2014级高三二诊模拟考试
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第I卷（选择题共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、设是虚数单位，则复数的虚部是（ ）
A、B、C、D、
2、已知命题，命题，则（ ）
A、命题是假命题B、命题是真命题
C、命题是真命题D、命题是假命题
3、已知等比数列的公比，且成等差数列，则的前8项和为（ ）
A、127B、255C、511D、1023
4、若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A、180B、120C、90D、45
5、已知菱形的边长4，，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离均大于1的概率为（ ）
A、B、C、D、
6、若抛物线上一点到焦点和轴的距离分别为5和3，则此抛物线的方程为（ ）
A、B、
C、或D、或
7、某程序框图如图所示，现分别输入下列四
个函数，则可以输出的是（ ）
A、
B、
C、
D、
8、已知的三个内角所对的边分别为，若且，则（ ）
A、B、
C、D、
9、已知某几何体的三视图如图所示，过该几
何体最短两条棱的中点作平面，使得平
分该几何体的体积，则可以作此种平面
（ ）
A、恰好1个
B、恰好2个
C、至多3个
D、至少4个
10、数列满足：，其中，，其中，则满足条件的数列的项数的最大值为（ ）
A、4025B、4026C、D、
第II卷（非选择题，共100分）
二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分。把答案填写在答题卡相应位置上。
11、随机变量服从正态分布，且 。
12、若，且，
则的最小值为 。
13、等边的边长为2，取各边的三等分点并连线，
可以将分成如图所示的9个全等的小正三角形，
记这9个小正三角形的重心分别为，
则 。
考生注意：14、15、16为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。
14、如图，是圆的直径，过、的两条弦
和相交于点，若圆的半径是2，那么
的值等于 。
15、直线（为参数）与圆（为参数）相交所得的弦长的取值范围是 。
16、已知函数。若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 。
三、解答题：本大题6个小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）
为了参加首届中学生合唱比赛，学校将从四个班级中选出18名学生组成合唱团，学生来源人数如下表：
班级班班班班人数4[]635（1）从这18名学生中随机选出两名，求两人来自同一个班级的概率；
（2）若要求选出两名学生作为学生领唱，设其中来自班的人数为，求随机变量的分布列，及
数学期望。
18、（本题满分13分，第（1）问5分，第（2）问8分）
已知函数。
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调区间和极值。
19、（本题满分13分，第（1）问6分，第（2）问7分）
已知函数的图像上的一个最高点，与该最高点最近的一个最低点是。
（1）求函数的解析式及其单调增区间；
（2）在中，角所对的边分别为，且，角的取值范围是区间，当时，试求函数的值域。
20、（本题满分12分，第（1）问6分，第（2）问6分）
直四棱柱中，底面为菱形，且，，为的延长线上一点，，设。
（1）求二面角的大小；
（2）在上是否存在一点，使？若存在，求的值；若不存在，请说明理由。
21、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
如图，焦点在轴上的椭圆与焦点在轴上的椭圆相切于点，且椭圆与的离心率均为。
（1）求椭圆与椭圆的方程；
（2）过点引两条互相垂直的两直线、，与两椭圆，分别交于点与点（均不重合）。若，求与的方程。
22、（本题满分12分，第（1）问4分，第（2）问8分）
设集合，若存在非空集合，使得，且集合的所有元素之和等于集合的所有元素之和，则称集合为“最强集合”。
（1）若“最强集合”，求的所有可能值；
（2）若集合的所有元子集都是“最强集合”，求的最小值。
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