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资阳市高中2011级模拟考试
数 学（）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至页150分考试时间120分钟和答题卡一并收回第Ⅰ卷 （选择题 共0分）
注意事项：
答题卡上涂黑10小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A＝{x|}，B＝{x|}，则集合＝
（A）{x| 0＜x＜}（B）{x|＜x}
（C）{x| 1＜x ≤ 4}（D）{x| x＜}
2．表示的点关于虚轴对称，则复数z＝
（A）（B）（C）（D）3．（A）”是“函数是奇函数”的充要条件
（B），，则，
（）若为假命题，则均为假命题（D），则”的否命题是“若，则”
4．（A）（B）（C）
（D）
5．如图，已知A，B两点分别在河的两岸，某测量者在点A所在的河岸边另选定一点C，测得m，，，则A、B两点的距离为
（A）（B）
（C）（D）．用0，1，2，3，4这五个数字组成没有重复数字个数是
（A）（B）
（C）（D）．若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1，0)处取得最小值，则实数a的取值范围是（A）（B）（C）（D）
已知实数，执行右图所示的，则输出x的不小于55的概率为
（A）（B）
（C）
（D）
．上除顶点外的任意一点，、分别是双曲线的左、右焦点，△的内切圆与边相切于点M，则
（A）（B）（C）（D）
10．已知函数若，为某一个三角形的边长，则实数的取值范围是
（A）（B）（C）（D） 第Ⅱ卷非选择题 共0分注意事项：
11．__________．12．在ABC中，，，，则_____．13．中的网格是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为
14．已知等边三角形的一个顶点在坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，则该三角形的面积是________．
15．设表示不超过的最大整数，如，．给出下列命题：
①对任意实数，都有；
②对任意实数，y，都有；
③；
④若函数，当时，令的值域为A，记集合A的元素个数为，则的最小值为．
其中所有真命题的序号是_________________．
三、解答题：共6大题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（本小题满分12分）设平面向量，，函数．
（Ⅰ）当时，求函数的取值范围；
（Ⅱ）当，且时，求的值．
17．（本小题满分12分）已知数列满足：．
（Ⅰ）求证数列是等比数列；
（Ⅱ）令，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分12分）（Ⅰ）（Ⅱ），求甲在初赛中答题个数的分布列和
数学期望．
19．（本小题满分12分） 如图，ABCD是梯形，CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90(，，M是AE上的动点．
（Ⅰ）试点M，使AC∥平面DMF，并说明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求平面DMF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分13分），点，P是圆E上任意一点．线段PF的垂直平分线和半径PE相交于Q．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）的三个动点，A与B关于原点对称，且，问△ABC的面积是否存在最小值？若存在，求出此时点C的坐标，若不存在，请说明理由．
21．（本小题满分14分） 资阳市高中2011级模拟考试
（）
，．11. －20；12.；13. ；14.；15.①.
三、解答题：共6大题，共75分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．解析：（Ⅰ）．当时，，则，，
所以的取值范围是．（Ⅱ）由，得，因为，所以，得，．12分
17．解析：（Ⅰ）时，，解得，1分
当时，由， 2分
两式相减，得，即（），3分
则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，6分
所以，7分
则， 8分
由对任意都成立，得，10分
即对任意都成立，又，
所以m的值为1，2，3．12分
18．解析：（Ⅰ）设平均成绩为，则：
．（Ⅱ）记甲在初赛中答题个数为随机变量，的可能值为34，5，
，，（或）．
则的分布列为
345p所以
数学期望．19．解析：（Ⅰ）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．
证明如下：
连结CE，交DF于N，连结MN，
由于MN分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，
由于MN平面DMF，又AC平面DMF，
所以AC∥平面DMF．（Ⅱ）方法一、与平面ABCDAC∥平面DMF，AC∥l，
过点M作MG⊥AD于G，
因为平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，
所以MG⊥平面ABCD，
过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，
故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角，则，，
，则，11分
所以，即所求二面角的余弦值为．12分
方法二、平面ABCD⊥平面CDEF，ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以，，的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．设，则，，，，
设平面MDF，
则所以
令，得平面MDF，8分
取平面ABCD的法向量，9分
由，11分
故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．12分
20．解析：（Ⅰ），
故动点Q的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆．2分
设其方程为，可知，，则， 3分
所以点Q的轨迹的方程为．4分
（Ⅱ）．6分
（ⅱ）方法一、当直线AB的斜率存在且不为0时，设斜率为k，则直线AB的直线方程为，设点，
联立方程组消去y得，，
由，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，可知直线OC的方程为，同理可得点C的坐标满足，，则，，
8分
则．9分
由于，
所以，当且仅当，即时取等号．
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取最小值，11分
此时，，即，，
所以点C的坐标为，，，．方法二、记，则，所以，
故，即时，有最大值，此时取得最小值．
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，△ABC的面积取得最小值．11分
此时，，即，，
所以点C的坐标为，，，．方法、，，根据A，B两点关于原点对称，
则，所以，
由，知△ABC是等腰三角形，O为AB的中点，则OC⊥AB，，，
由，……………………………………①
且点C在椭圆上，则…………………②
联立①②，解得，，所以，8分
所以，9分
又，即，所以，
记，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
综合（ⅰ）（ⅱ），当时，有最小值．11分
所以点C的坐标为，，，．21．解析：（）由．
当时，对，有，所以函数在区间单调递增；
当时，由，得；由，得，
函数的单调增区间为，单调减区间为．
综上所述，当时，函数的单调增区间为；
当时，函数的单调增区间为，单调减区间为．4分
（）函数定义域为，由，得（），令（），则，，，，时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，故．又由（Ⅰ）知当时，对，有，即，
随着的增长，的增长速度越越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越越慢则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大
当时，函数有两个不同的零点；
当时，函数有且仅有一个零点；
当时，函数没有零点．9分
（）由（Ⅱ）知当时，，故对，
先分析法证明：，要证，，
只需证，
即证，
构造函数，则，
故函数在单调递增，所以，则成立．当时，由（Ⅰ），在单调递增，则在上恒成立；
当时，由（Ⅰ），函数在单调递增，在单调递减，当时，，所以，则不满足题意．
所以满足题意的取值范围是．
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