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2014
嘉兴二模 理科
数学答案
2014年高三教学测试（二）
（本大题共10小题，每题5分，共50分）
1．A；2．A；3．D；4．；5．C；
6．D；7．A；8．D；9．B；10．C．
第9题提示：
①：因为，与相交不垂直，所以与不垂直，则①不成立；
②：设点的平面射影点时就有，可使条件满足，所以②正确；
③：当点落在上时，平面，平面平面，所以③正确．
④：因为点的射影不可能在上，所以④不成立第10题提示：
表示的平面区域是由围成的三角形区域（包含边界）．与表示的平面区域无公共点, 所以满足：或．在如图所示的三角形区域（除边界且除原点）．的取值范围是．（本大题共7小题，每题4分，共28分）
11； 12．512； 13．（或6562）； 14；
15； 16．； 17．14．
第17题提示：
集合中的方程表示圆心在直线上的六个圆, 由对称性只需考虑第一象限. 记对应的圆分别为⊙, ⊙,⊙,易知⊙与⊙外切, ⊙与⊙, ⊙相交, 且经过⊙的圆心.对应的三条直线，与⊙外切，与⊙外切且与⊙相交，与⊙与⊙的外公切线且与⊙相交，由图知在第一象限共有7个交点，故共有14个交点.
（本大题共5小题，共72分）
18．（本题满分14分）
在△中，角、、的对边分别为、、，且．
（Ⅰ）若，求角的大小；
（Ⅱ）若，，求△面积的最小值．
18．（Ⅰ）由正弦定理，得．
∴ ．
∴ （舍）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中可得或．
又 时，，，即，矛盾．
所以，，即．
所以，
即当时，的最小值是．
．（本题满分15分）
如图，四棱锥中，平面，,，，是棱的中点．
（Ⅰ）若，求证：平面；
（Ⅱ）求的值，使二面角的平面角最小．
．（Ⅰ）当时，
∵,．
∴．
又平面，∴．
∴平面．
又平面，
∴．
又，是棱的中点，
∴．
∴平面．（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，．
∴、．
设平面的法向量为，
则
取，得．
又易知平面的法向量为．
设二面角的平面角为，则
要使最小，则最大，即，
∴ ，得
．（本题满分14分）
有三个盒子，每个盒子中有红、黄、蓝颜色的球各一个，所有球仅有颜色上的区别．
（Ⅰ）从个盒子中取一球，为“取得色的三个球为“取得颜色互不相同的三个球和；
（Ⅱ）从盒中任取一球放入盒，再从盒中任取一球放入盒，最后从盒中任取一球放入盒，此时盒中红球的个数为，求的分布列与
数学期望．
．（Ⅰ），．
（Ⅱ）的可能值为．
①考虑的情形，首先盒中必须取一个红球放入盒，相应概率为，此时盒中有2红2非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个非红球放入盒，相应概率为．故．
②考虑的情形，首先盒中必须取一个非红球放入盒，相应概率为，此时盒中有1红3非红；若从盒中取一红球放入盒，相应概率为，则盒中有2红2非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为；若从盒中取一非红球放入盒，相应概率为，则盒中有1红3非红，从盒中只能取一个红球放入盒，相应概率为．故．
③．
所以的分布列为
21．（本题满分15分）
如图，椭圆长轴的右端点为，短轴端点分别为、，抛物线．
（Ⅰ）若上存在点，使四边形菱形，求的方程；
（Ⅱ）若，过作抛物线的切线，切点为，直线与相交于另一点，求的取值范围．
21．（Ⅰ）由四边形是菱形，得，
且，解得，，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）不妨设（），
因为，
所以的方程为，即．
又因为直线过点，所以，即．
所以的方程为．
联立方程组，消去，得．
所以点的横坐标为，
所以．
又，所以的取值范围为．
22．（本题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）令，若函数的图象上存在两点、满足（为坐标原点），且线段的中点在轴上，求的取值集合；
（Ⅱ）若函数存在两个极值点、，求的取值范围．
22．（Ⅰ）由题意，不妨设，，且，
∴，即，∴．
∵，
∴的取值集合是．
（Ⅱ），．
要使存在两个极值点，则
即在上存在两不等的实根．
令，
∵的图象的对称轴为，∴且．
∴．
由上知．
∴
．
令，，
∴，在上单调递减，
∴ ．
故的取值范围是．
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