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2014邢台一模理科
数学答案
(Ⅱ)记，其中
由正弦定理得，，………8分
，
其中， ……10分
可以取到
因此的最大值为 ……………………12分
18．解析：(Ⅰ)第二组的频率为，
所以高为
频率分布直方图如下：
第一组的人数为，频率为，所以
第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，所以
第四组的频率为，第四组的人数为
所以 ………………6分
(Ⅱ)因为岁年龄段的“低碳族”与岁年龄段的“低碳族”的比值为60:30=2:1，
所以采用分层抽样法抽取18人，岁中有12人，岁中有6人，随机变量
，
所以随机变量的分布列为
X 0 1 2 3
P
………10分
19.（Ⅰ）证明：由四边形为菱形，，可得△为正三角形.
因为为的中点，所以.又，因此.………2分
因为，，所以.而，
且，所以，又.
所以 …………………4分
（Ⅱ）解：为上任意一点，连接.由（Ⅰ）知，
则为直线与平面所成的角.
所以 当最短时，最大，
即 当时，最大.
此时
.又，所以 所以 ………6分
解法一：因为，，
所以 .
过作于，则，
过作于，连接，
则为二面角的平面角， ………8分
在Rt△中， ，,………10分
又是的中点，在Rt△中，,
又
在Rt△中，
即所求二面角的余弦值为 ……………12分
解法二：由（Ⅰ）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标
系，又分别为的中点，所以,
，
所以 ………8分
设平面的一个法向量为
………10分
所以，故 为平面的一个法向量.
又，所以.
因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为.………12分
20解：（Ⅰ）设椭圆的方程为，则， ①
∵抛物线的焦点为，∴， ② ……2分
又， ③
由①、②、③得，
所以椭圆的方程为 ……………………4分
（Ⅱ）依题意，直线的斜率为-1，由此设直线的方程为，
代入椭圆的方程，得，
由△，得 ……………….6分
记、，
则，
圆的圆心为，
半径， …………8分
当圆与轴相切时，，
即，， ……………….10分
当时，直线的方程为，
此时，，圆心为（2，1），半径为2，
圆的方程为；
同理，当时，直线的方程为，
此时，，圆心为（-2，-1），半径为2，
……………………………………12分
21.解：（Ⅰ）的定义域为
…………2分
当时，，则在内单调递减 …………4分
当时，，，单调递减；
，，单调递增 ………………………6分
（Ⅱ）当时，由（1）可知在内单调递减，在内单调递增
， ………8分
即，
令
而，
易知时，取得最大值,即 ………10分
∴
…………………12分
22.解：（Ⅰ） 由是圆的切线，因此=，
在等腰中，，可得，所以
. ……………… 5分
（Ⅱ）
，由切割线定理可知，
，则，又，可得 . ……10分
23. 解:（Ⅰ）曲线的普通方程为
直线的参数方程为 ……………………………5分
（Ⅱ）将的参数方程为代入曲线的方程得：
……………………………………10分
24.解: （Ⅰ）当时，不等式为
当时，不等式即，
当时，不等式即，
综上，不等式的解集为 ……………………………………5分
（Ⅱ）
当时，单调递减，无最小值；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
处取得最小值
当时，单调递增，无最小值；
综上， …………………………………………………………10
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