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2014
惠州二模数学答案（文科）
广东省惠州市2014届高三4月模拟考试
数 学 试 题（文科） 2014.04
本试卷共5页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．已知向量，则向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．是虚数单位，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等
的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为，那么这
个几何体的体积为 ( )
A． B．
C． D．
6．用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
7. 已知椭圆的长轴在轴上，焦距为，则等于 （ ）
A． B． C． D．
8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面。下列四个命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9．已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
10．设命题：函数的图象向左平移个单位长度得到的曲线关于轴对称；
命题：函数在上是增函数．则下列判断错误的是（ ）
A．为假 B．为真 C．为假 D．为真
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．已知点满足，则的最小值是 ．
12. 程序框图（即算法流程图）如下图所示，其输出结果是 ．
13．设一直角三角形的两条直角边长均是区间上
的任意实数，则斜边长小于的概率为 ．
(二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题)
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系下，曲线
，曲线.若曲线有公共点，则实数的取值范围是____________．
15．（几何证明选讲选做题）如右图所示，是圆
外一点，过引圆的两条割线
．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）
已知函数
（1）求的值；
（2）若，且，求.
17．（本小题满分12分）
某校高三（1）班共有名学生，他们每天自主学习的时间全部在分钟到分钟之间，按他们学习时间的长短分个组统计,得到如下频率分布表：
组别 分组 频数 频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
（1）求分布表中，的值；
（2）王老师为完成一项研究，按学习时间用分层抽样的方法从这名学生中抽取名进行研究，问应抽取多少名第一组的学生？
（3）已知第一组学生中男、女生人数相同，在（2）的条件下抽取的第一组学生中，既有男生又有女生的概率是多少？
18．（本小题满分14分）
如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.
19.（本小题满分14分）
已知正项数列中，，前n项和为，当时，有.（1）求数列的通项公式；
（2）记是数列的前项和，若的等比中项，求 .
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的左右顶点分别为，离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为曲线:上任一点（点不同于），直线与直线交于点，为线段的中点，试判断直线与曲线的位置关系，并证明你的结论．
21.（本小题满分14分）
已知函数
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求的单调区间；
(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.
广东省惠州市2014届高三4月模拟考试
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D B B D C A A C D
1．【解析】选A，
2．【解析】选D，.
3．【解析】选B，.
4.【解析】选B，
5.【解析】选D, 由三视图还原几何体可知.
6.【解析】选C， 设，
当连续函数
7.【解析】选A，
8.【解析】选A，有面面平行的性质可知A正确.
9.【解析】选C,相邻两项依次结合可得：
10. 【解析】选D ，
二．填空题
11. 12. 13.
14. （ 或 ） 15.
11.【解析】
12.【解析】连续递推可得
13.【解析】设两条直角边长为，
14.【解析】化为普通方程后，圆心到直线的距离小于或等于圆的半径（），解不等式即可.
15.【解析】由割线定理可得
三．解答题
16. （本小题满分12分）
解：(1) …………………2分
(2) …………4分
……………………6分
……………………8分
…………10分
因为，且，所以 ………11分
所以 ………12分
17．（本小题满分12分）
解：（1），． …………4分
（2）设应抽取名第一组的学生，则得．
故应抽取2名第一组的学生． …………6分
（3）在（2）的条件下应抽取2名第一组的学生，记第一组中2名男生为，2名女生为．
按时间用分层抽样的方法抽取2名第一组的学生共有种结果，列举如下：
． ……………9分
其中既有男生又有女生被抽中的有这4种结果， ……10分
所以既有男生又有女生被抽中的概率为. …………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，
所以∥，且．
由已知∥，，
所以∥，且． …………………………3分
所以四边形为平行四边形．
所以∥． …………………………4分
又因为平面，且平面，
所以∥平面． ………………………5分
（2）在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．
所以． ………………………7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，
所以．
所以． …………………………8分
所以平面． …………………………10分
（3）解法一：因为平面， 所以平面平面． …………11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度 ………………………12分 在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
解法二：平面,所以
所以
………………………12分
又，设点到平面的距离为
则 ，所以
所以点到平面的距离等于. ………………………14分
19. （本小题满分14分）
解析： （1）
……………1分
， ……………2分
…………………………………………3分
………………………………………4分
……………6分
（2）
…………………………………7分
…………………………………9分
……………11分
……………………………………13分
………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解析：（1）由题意可得，， ∴ …………2分
∴， …………………3分
所以椭圆的方程为． …………………4分
（2）曲线是以为圆心，半径为2的圆。
设，点的坐标为，…………………5分
∵三点共线， ∴，…………………6分
而，，则，
∴， ………………………………………8分
∴点的坐标为，点的坐标为， …………………10分
∴直线的斜率为，
而，∴，
∴， …………………12分
∴直线的方程为，化简得，
∴圆心到直线的距离，…………………13分
所以直线与曲线相切． ……………………………14分
21．（本小题满分14分）
解：(1)由已知， …………………………1分
，所以斜率， …………………………2分
又切点，所以切线方程为)，即
故曲线在处切线的切线方程为。 ………………3分
(2) ………………4分
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为.
………………………………5分
②当时，由，得. ……………………6分
在区间上，，在区间上，，
所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. …………7分
（3）由已知，转化为. ………………8分
，所以 ………………9分
由(2)知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意.
(或者举出反例：存在，故不符合题意.) ………………10分
当时，在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值即为最大值，， ………12分
所以， 解得. …………14分
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