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2014
湛江二模数学（理科）答案
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔
将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
参考公式：，其中为样本容量。
参考数据：
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
3．已知，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
4．下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
5．已知向量，则的充要条件是
A． B． C． D．
6．已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲
线的渐近线方程为
A． B． C． D．
7．已知实数、满足不等式组，且恒成立，则的取值范围是
A． B． C． D．
8．对于任意两个正整数，定义某种运算“※”，法则如下：当都是正奇数时，※=；
当不全为正奇数时，※=。则在此定义下，集合
中的元素个数是
A． 7 B． 11 C． 13 D． 14
二、填空题：本大题共小题．考生作答小题．每小题5分，满分0分．
（一）必做题（～13题）中，，则 ________________。
10．阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为__________.
11．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车
需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么
不同的停放方法共有 __________种。（用数字作答）
12．在长为6的线段上任取一点，现作一矩形，
邻边长分别等于线段，的长，则该矩形面积
大于8的概率为 ．
13．若函数满足，且时，
；函数，则函数与的
图象在区间内的交点个数共有 个。
（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）
14．：的圆心到直线
的距离是_______________.
15．的直径，
为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到
直线的距离___________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答写出文字说明、证明过程和演算步骤．
(1)求的定义域及最小正周期；
(2)求的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）
某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人，吴老师采用A、B
两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班进行教学实验。为了解教学效果，期末考试后，分别从两个
班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出的茎叶图如下：
记成绩不低于90分者为“成绩优秀”。
（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于80分的成绩中随机抽取2个，记随机变量为抽到“成绩优秀”的个数，求的分布列及
数学期望；
(2)由以上统计数据填写下面列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀”与教学方式有关？
18．（本小题满分14分）
在如图所示的几何体中，四边形为平行四边形，平面，
//，//，//，.
(1)若是线段的中点，求证：//平面；
(2)若，求二面角的余弦值．
19．（本小题满分14分）
已知等差数列的首项，公差，且分别是等比数列的，，。
(1) 求数列和的通项公式；
(2) 设数列对任意正整数均有成立，求的值。
20．（本小题满分14分）
如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：
的直径，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，
交椭圆于另一点。
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求△面积的最大值及取得最大值时
直线的方程。
21．（本小题满分14分）
已知函数
(1) 求函数的单调区间；
(2) 证明：对任意的，存在唯一的，使；
(3) 设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.A 2.D 3.B 4.C 5.A 6.A 7.B 8.C
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9. 8 10. 11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16.（本小题满分12分）
解：（1）由，得，
故的定义域为 …………………………………….2分
∵
…………………………………….6分
∴函数的最小正周期 …………………………………….7分
（2）∵函数的单调递减区间为
由，
得……………………………………….10分
∴函数的单调递减区间为……………….12分
17. （本小题满分12分）
解：（1）由题意得 ……………………………………….1分
故 …………….4分
∴的分布列为：
……………………………………….6分
（2）由已知数据得
……………………………………….10分
根据列联表中的数据，。
由于，所以有90%的把握认为“成绩优秀”与教学方式有关。……….12分
18.（本小题满分14分）
（1）∵
∴△∽△。 …………………………….2分
由于，因此
连接，由于，………….3分
在平行四边形中，是线段的中点，
则，且，……………….4分
因此，且,
所以四边形为平行四边形，∴
又平面平面，∴平面 ………………6分
（2）解：∵，∴,
又平面，∴两两垂直。
分别以所在直线为轴、轴、
轴建立如图所示的空间直角坐标系。
…………………………….7分
则 …………………………….8分
故，又，∴,
.设平面的法向量，则
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….10分
设平面的法向量，则
，∴ ，取，得，所以
。 ……………………………………….12分
所以
故二面角的余弦值为 。 ……………………………………….14分
19. (本小题满分14分)
解：（1），且成等比数列，
∴，即， ……………………………………………2分
∴ ………………………………………………4分
又∵∴ …………………………………6分
（2）∵， ①
∴，即，
又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，……………………………………11分
则
……………14分
20.（本小题满分14分）
解：（1） ……………………………………………2分
∴椭圆的方程为 …………………………………………3分
（2）设
由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为。……4分
故点到直线的距离为，又圆：，
∴ ……………………………………………5分
又，∴直线的方程为
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴ ………………………………7分
设△的面积为，则
∴………………12分
当且仅当，即时上式取等号。
∴当时，△的面积取得最大值，
此时直线的方程为 ……………………………………………14分
21. （本小题满分14分）
（1）解：函数的定义域为
，令，得…………………………2分
当变化时，，的变化情况如下表：
极小值
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是……………4分
（2）证明：当时，。设，令
由（1）知在区间内单调递增。 …………………………6分
故存在唯一的，使得成立。 …………………………8分
（3）证明：∵，由（2）知，，且，
∴…………………………10分
其中，，要使成立，只需且。 ………12分
当时，若，则由的单调性，有，矛盾。
所以，即，从而成立。
又设，则
所以在内是增函数，在内为减函数，
在上的最大值为
∴成立。 ………………………13分
∴当时，成立。 ………………………………14分
注：如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分。
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