本站
非官方网站，信息完全免费，仅供参考，不收取任何费用，请以官网公布为准！
2014
湛江二模数学（文科）答案
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。用2B铅笔
将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上。在答题卡右上角“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号，将相应的试室号、座位号信息点涂黑。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4.考试结束后，将试题与答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．一个几何体的正视图、侧视图、和俯视图形状都相同，大小均相等，则这个几何体不可以是
A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱
5．已知向量，，且，则等于
A． B． C． D．
6．等比数列中，，，则
A． B． C． D．
7．已知，则、、的大小关系是
A． B． C． D．
8．下列命题正确的是
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
9．已知双曲线的离心率为2，一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲
线的渐近线方程为
A． B． C． D．
10．已知实数、满足不等式组，且恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共5小题．考生作答4小题．每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
为偶函数，则实数_______.
12．阅读如图所示的程序框图，若输入，则输出的
值为______________.
13．在长为6的线段上任取一点，现作一矩形，
邻边长分别等于线段，的长，则该矩形面积
大于8的概率为_____________.
（二）选做题（1415题，考生只能从中选做一题）
14．：的圆心到直线
的距离是_______________.
15．的直径，
为圆周上一点，，过作圆的切线，则点到
直线的距离___________.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答写出文字说明、证明过程和演算步骤．
。
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间。
17．（本小题满分12分）
某工厂有工人1000人，其中250名工人参加过短期培训（称为A类工人），另外750名工人参加
过长期培训（称为B类工人）。现用分层抽样的方法（按A类、B类分二层）从该工厂的工人中共抽查
100名工人，调查他们的生产能力（此处的生产能力指一天加工的零件数）。
(1) A类工人和B类工人中各抽查多少工人？
(2) 从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2。
①求，，再完成下列频率分布直方图；
②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数（同一组
中的数据用该组区间的中点值作代表）。
18．（本小题满分14分）
如图，在四棱台中，底面是平行四边形，，
。
（1）证明：平面；
（2）证明：//平面。
19．（本小题满分14分）
已知等差数列的首项，公差，且分别是等比数列的，，。
(1) 求数列和的通项公式；
(2) 设数列对任意正整数均有成立，求的值。
20．（本小题满分14分）
如图，点是椭圆：的一个顶点，的长轴是圆：
的直径，是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于、两点，
交椭圆于另一点。
(1) 求椭圆的方程；
(2) 求△面积的最大值及取得最大值时
直线的方程。
21．（本小题满分14分）
已知函数
(1) 求函数的单调区间；
(2) 证明：对任意的，存在唯一的，使；
(3) 设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有。
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11. 12. 13. 14. 15.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
16. （本小题满分12分）
解：(1)∵
………………………………………………….2分
…………………………………………….6分
∴函数的最小正周期……………………………………….7分
（2）∵函数的单调递减区间为。
由，
得……………………………………….10分
∴函数的单调递减区间为……………….12分
17. （本小题满分12分）
解：（1）A类工人和B类工人中分别抽查25名和75名。………………………. 2分
（2），得，
由，得 ……………………………………. 3分
频率分布直方图如下：
………………………………………………7分
②
，
…………………………………………………11分
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及该工厂工人生产能力的平均数的估计
值分别为123，133.8，131.1。 ………………………………………12分
18.（本小题满分14分）
（1）证明：∵在△中，由余弦定理得
, ……2分
∴，因此， …………4分
∵平面，且平面.
∴ ……………………………………6分
又，∴平面…………7分
（2），，设，连接， …………………………8分
∵四边形是平行四边形，∴
由棱台定义及知
//,且， ……………10分
∴四边形是平行四边形，因此//，
又∵平面，
∴//平面 ………………………………………14分
19. (本小题满分14分)
解：（1），且成等比数列，
∴，即， ……………………………………………2分
∴ ………………………………………………4分
又∵∴ …………………………………6分
（2）∵， ①
∴，即，
又， ②
①②得 ……………………………………………9分
∴，∴，……………………………………11分
则
……………………………………………14分
20.（本小题满分14分）
解：（1） ……………………………………………2分
∴椭圆的方程为 …………………………………………3分
（2）设
由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为。……4分
故点到直线的距离为，又圆：，
∴ ……………………………………………5分
又，∴直线的方程为
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴ ………………………………7分
设△的面积为，则
∴………………12分
当且仅当，即时上式取等号。
∴当时，△的面积取得最大值，
此时直线的方程为 ……………………………………………14分
21. （本小题满分14分）
（1）解：函数的定义域为
，令，得…………………………2分
当变化时，，的变化情况如下表：
极小值
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是……………4分
（2）证明：当时，。设，令
由（1）知在区间内单调递增。 …………………………6分
故存在唯一的，使得成立。 …………………………8分
（3）证明：∵，由（2）知，，且，
∴…………………………10分
其中，，要使成立，只需。 …………………………12分
当时，若，则由的单调性，有，矛盾。
所以，即，从而成立。 ………………………………13分
∴当时，成立。 ………………………………14分
数学学习 http://www.yggk.net/math/
