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2014
宁波二模数学答案(理科)
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波市2014 年高考模拟试卷
说明:
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试
题的主要考查内容制订相应的评分细则.
二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的
内容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的
一半;如果后续部分的解答有较严 的错误,就不再给分.
三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数.
四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5 分,满分50 分.
1.C 2.D 3.A 4.C 5. B
6.A 7.B 8.D 9.D 10.B
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4 分,满分28 分.
7
11.2 12.[21,31] 13.5x + 3y + 1= 0 14.
3
3 2
15.27p 16. 17.
5 3
三、解答题:本大题共5 小题,共72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(本题满分14 分)
11 5 3
解:(Ⅰ)由cosB = ,得sin B = , ……………………1 分
14 14
又2 3a sin B = 5c ,代入得3a = 7c ,
a c
由 = ,得3sin A = 7 sinC , ……………………3 分
sin A sinC
3sin A = 7 sin(A + B) , 3sin A = 7 sin A cosB + 7cosA sinB ………5 分
2p
得tan A = - 3 ,A = ……………………7 分
3
2 2 19
(Ⅱ)AB + BD - 2ABgBD cosB = , ……………………9 分
4
2 7 2 7 11 19
c + ( c) - 2cg cg = ,c = 3 ,则a = 7 ……………………11 分
6 6 14 4
1 1 5 3 15 3
S = ac sin B = g3g7 = ……………………14 分
2 2 14 4
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—1
(19)(本小题满分14 分)
Ï a + d = 8 a = 4
1 Ï 1
解:(Ⅰ)由题意,Ì ,得Ì ,\an =4n . …………3 分
4a + 6d = 40 d = 4
Ó 1 Ó
QT - 2b + 3 = 0 ,\当n = 1时,b = 3,
n n 1
当n 2时,T - 2b + 3 = 0 ,两式相减,得b = 2b ,(n 2)
n-1 n-1 n n-1
数列{b }为等比数列,\b = 3 2n-1 . …………7 分
n n
4n n为奇数
Ï
(Ⅱ)cn = Ì n-1 .
Ó32 n为偶数
当n 为偶数时,
P = (a + a + L+ a ) + (b + b + L+ b )
n 1 3 n-1 2 4 n
n n
(4 + 4n - 4) 2
2 6(1- 4 ) n+1 2
+ = 2 + n - 2 ……………10 分
= 2 1- 4 .
当n 为奇数时,
(法一) 为偶数,P = P + c (n-1)+1 2 n 2
n - 1 n n-1 n = 2 + (n - 1) - 2 + 4n = 2 + n + 2n -1
……………13分
(法二)
P = (a + a + L+ a + a ) + (b + b + L+ b )
n 1 3 n-2 n 2 4 n-1
n + 1 n-1
(4 + 4n) 2
= 2 + 6(1- 4 ) = 2n + n2 + 2n -1 ……………13 分
2 1- 4 .
Ï 2n+1 + n2 - 2,n为偶数
\P =Ì ……………14 分
n n + 2 + - ,为奇
2 n 2n 1 n 数
Ó
20.(本题满分15 分)
解:(Ⅰ)证明:因为M 为等边△ABC 的AC 边的中点,所以BM ⊥AC .
依题意CD⊥AC ,且A 、B 、C、D 四点共面,所以BM ∥CD. …………3 分
又因为BMÀ平面PCD,CDÃ平面PCD,所以BM ∥平面PCD. …………5 分
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—2
(Ⅱ)因为CD⊥AC ,CD⊥PA ,
P
所以CD⊥平面PAC ,故PD 与平面
PAC 所成的角即为∠CPD . F
……………7 分
不妨设PA=AB=1,则PC= 2 .
D
A
CD 6 E
由于tan –CPD = = ,
PC 2 M
B
所以CD= 3 .……………9 分 C
( 20 题图)
(方法一)
在等腰Rt△PAC 中,过点M 作ME ⊥PC 于点E ,再在Rt△PCD 中作EF ⊥PD 于
点F .因为ME ⊥PC,ME ⊥CD,所以ME ⊥平面PCD,可得ME ⊥PD .
又EF ⊥PD ,所以∠EFM 即为二面角C-PD-M 的平面角. ……………12 分
2 3 2 3 3 30
易知PE=3EC,ME= ,EF= ¥ = ,
4 4 5 20
2
所以tan∠EFM= ME = 4 = 15 , z
EF 3 30 9
P
20
15
即二面角C-PD-M 的正切值是 .
9
……………15 分
y
(方法二) D
A
以A 点为坐标原点,AC 为x 轴,建立
如图所示的空间直角坐标系A ﹣xyz . M
则P (0,0,1), B C
1 x
M (,0,0 ),C (1,0,0),D (1, 3,0) . ( 20 题图)
2
uuur uuur uuuur 1
则PC = (1,0,-1) ,PD = (1, 3,-1) ,PM = ( ,0,-1) .
2
uur uur
若设n = (x ,y ,z ) 和n = (x ,y ,z ) 分别是平面PCD 和平面PMD 的法向量,则
1 1 1 1 2 2 2 2
uur uuur
Ï x - z = 0 uur
n PC = 0 Ï 1 1
Ô 1 Ô
fi ,可取n = (1,0,1) .
Ìuur uuur Ì 1
n PD x + 3y - z = 0
Ô = 0 Ô
Ó 1 Ó 1 1 1
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—3
uur uuuur Ï1
Ï x - z = 0 uur
n PM = 0 3
Ô 2 Ô 2 2
由Ìuur uuur fi Ì2 ,可取n2 = (2,- ,1) . ………12 分
n PD = 0 3
Ô Ô
Ó 2 x + 3y - z = 0
Ó 2 2 2
uur uur
uur uur n n 3 27
1 2
所以cos < n ,n >= uur uur = = ,
1 2
| n || n | 16 32
1 2 2
3
27 15
故二面角C-PD -M 的余弦值是 ,其正切值是 . ……………15 分
32 9
21.(本题满分15 分)
解:(Ⅰ)设右焦点F (c,0) (其中c = a2 - b2 ),
c 1
依题意 = ,a + c = 3 ,所以a = 2, c = 1 . ……………3 分
a 2
2 2
2 2 x y
所以b = a - c = 3 ,故椭圆 的方程是 + = 1. ……………5 分
4 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,F (1,0).将通过焦点F 的直线方程y = k (x - 1) 代入椭圆 的方程
2 2
x y 2 2 2 2
+ = 1,可得(3 + 4k )x - 8k x + (4k - 12) = 0 ,
4 3
其判别式D = (8k2 )2 - 16(k2 - 3)(3 + 4k2 ) = 144(k2 + 1) .
特别地,对于直线l ,若设A(x ,y ), C(x ,y ) ,则
1 1 1 2 2
| AC |= (x - x )2 + (y - y )2 = 1+ k2 |x - x |
2 1 2 1 1 1 2
144(k2 + 1)
= 1+ k2 1 ,k ŒR且k 0 . ………………10 分
1 2 1 1
3 + 4k
1
又设B(x ,y ), D(x ,y ) ,由于B 、D 位于直线l 的异侧,
3 3 4 4 1
所以k (x - 1)- y 与k (x - 1)- y 异号.因此B、D 到直线l 的距离之和
1 3 3 1 4 4 1
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—4
|k (x - 1) - y | |k (x - 1) - y | |[k (x - 1) - y ] -[k (x - 1) - y ]|
d = 1 3 3 + 1 4 4 = 1 3 3 1 4 4
1+ k2 1+ k2 1+ k2
1 1 1
|k (x - x ) - (y - y ) | |k - k | |k - k | 144(k2 + 1)
= 1 3 4 3 4 = 1 2 |x3 - x4 | = 1 2 2 2 .
1+ k2 1+ k2 1+ k2 3 + 4k2
1 1 1
………12分
1 72 (k2 + 1)(k2 + 1)(k - k )2
综合可得,四边形ABCD 的面积S = | AC | d = 1 2 1 2 .
2 (3+ 4k2 )(3 + 4k2 )
1 2
3 2 2 3
因为k k = - ,所以t = k + k 2 |k k |= ,于是
1 2 1 2 1 2
4 2
25 3 25 1
72 (t + )(t + ) t +
16 2 16 16
S = f (t ) = = 6 = 6 1+
18+ 12t 3 3
t + t +
2 2
3 3 3 3
当t Œ[ ,+•) 时,f (t ) 单调递减,所以当t = ,即{k ,k }= {- , } 时,
1 2
2 2 2 2
7
四边形ABCD 的面积取得最大值 3 . ……………15 分
2
22.(本题满分14 分)
2(x - 1)
解:(Ⅰ)l=2 时, f (x) = ln x - (x 1) ,求导可得
x + 1
2
¢ 1 2(x + 1) - 2(x - 1) (x - 1)
f (x ) = - 2 = 2 0 ……………3 分
x (x + 1) x(x + 1)
所以,f (x ) 在(1,+•) 单调递增,故f (x ) 的最小值是f (1) = 0 .…………5 分
ln(n + 1) - ln n 1
(Ⅱ)依题意, = = ln(1+ ) . ……………6 分
k
n n + 1- n n
2(x - 1)
(ⅰ)由(Ⅰ)可知,若取l = 2 ,则当x > 1时f (x ) > 0 ,即ln x > .
x + 1
1
2(1+ - 1)
1 2 1 2n + 1
于是 ln(1+ ) > n = ,即知 < .…………8 分
n 1 2n +1 k 2
1+ + 1 n
n
n 1 n 2i + 1 n(n + 2)
所以 Sn = Â < Â = . ……………9 分
i=1 ki i=1 2 2
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—5
3(x - 1)
(ⅱ)取l = 3 ,则f (x) = ln x - (x 1) ,求导可得
x + 2
¢ 1 3(x + 2) - 3(x - 1) (x - 1)(x - 4)
f (x ) = - 2 = 2
x (x + 2) x(x + 2)
当x Œ(1,2) 时,f ¢(x ) < 0 ,故f (x ) 在(1,2) 单调递减.
3(x - 1)
所以,x Œ(1,2] 时,f (x) < f (1) = 0 ,即ln x < .……………12 分
x + 2
1
注意到,对任意正整数n ,1+ Œ (1,2] ,于是
n
1
1 3(1+ - 1) 3 1 3n + 1
kn = ln(1+ )< n = ,即知 > .……………13 分
n 1 3n + 1 k 3
1+ + 2 n
n
n n i n n
1 3 + 1 (3 + 5)
所以 Sn = Â > Â = . ……………14 分
i=1 ki i=1 3 6
宁波市2014 年高考模拟试卷
数学 (理科)参考答案6—6
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