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阳光高考门户全国首发：2014
广州二模文科
数学试题及答案（word版）
试卷类型：A
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
2014．4
本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
参考公式： 锥体的体积公式是,其中是锥体的底面积,是锥体的高.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数满足 i，其中i为虚数单位，则等于
A．i B．i C． D．
2．已知集合，则集合的子集个数为
A． B． C． D．
3．命题“对任意R，都有”的否定是
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．对任意R，都有
4. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
A． B． C． D．
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，
将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是
A． B． C． D．
6．一个几何体的三视图如图1，则该几何体
的体积为
A． B．
C． D．
7．设是等差数列的前项和，公差，
若，则正整数的值为
A． B．
C． D．
8．在△中，，，， 则的值为
A． B． C． D．
9．设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段
的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
第1列 第2列 第3列 第4列 第5列
第1行
第2行
第3行
第4行
第5行
… … … … … …
10．将正偶数按表的方式进行
排列，记表示第行第列的数，若
，则的值为
A． B．
C． D．
表1
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．不等式的解集为 .
12. 已知四边形是边长为的正方形，若，则的值
为 .
13．设满足约束条件 若目标函数的最大值
为，则的最大值为 .
（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与
圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为 .
15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形中，点在线段上，且
，连接，与相交于点，若△的面积为 cm，则
△的面积为 cm.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数，R .
(1) 求函数的最小正周期和值域；
（2）若，且，求的值.
17．（本小题满分12分）
某校高三年级一次
数学考试之后,为了解学生的
数学学习情况, 随机抽取名学生的数
学成绩, 制成表所示的频率分布表.
(1) 求，，的值;
(2) 若从第三, 四, 五组中用分层抽样方法抽取6名学生，并在这6名学生中随机抽取2
名与张老师面谈，求第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率.
组号 分组 频数 频率
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
合 计
表2
18．（本小题满分14分）
如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面， ，，，是的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求证：平面；
（3）求五面体的体积.
图
19．（本小题满分14分）
已知等差数列的前项和为R，且成等比数列.
（1）求的值；
（2）若数列满足，求数列的前项和.
20．（本小题满分14分）
已知函数，R .
（1）若函数在其定义域上为增函数，求的取值范围；
（2）当时，函数在区间N上存在极值，求的最大
值.
( 参考数值: 自然对数的底数≈)
21．（本小题满分14分）
已知点在抛物线上，直线R，且与抛物线
相交于两点，直线分别交直线于点.
（1）求的值；
（2）若，求直线的方程；
（3）试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若
不是，说明理由.
2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
答案：
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C D C B A D A C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
11． 12． 13． 14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：∵，
∴ 函数的最小正周期为. ……………2分
∵R，， ……………3分
∴. ……………4分
∴ 函数的值域为. ……………5分
（2）解法1：∵，
∴. ……………6分
∴. ……………7分
∴ ……………9分
……………11分
. ……………12分
解法2：∵，
∴ . ……………6分
∴. ……………7分
∴. ……………8分
两边平方得. ……………10分
∴ . ……………12分
17．（本小题满分12分）
(1) 解：依题意，得，
解得，，，. ……………3分
(2) 解：因为第三、四、五组共有60名学生，用分层抽样方法抽取6名学生，
则第三、四、五组分别抽取名，名，名. …………6分
第三组的名学生记为，第四组的名学生记为，第五组的名学生记为，
则从名学生中随机抽取名，共有种不同取法，具体如下：，，，，，，，，，
，，，，，. ……………8分
其中第三组的名学生没有一名学生被抽取的情况共有种，具体如下：，，. ……………10分
故第三组中至少有名学生与张老师面谈的概率为. ……………12分
18．（本小题满分14分）
（1）证明：连接，与相交于点，则点是的中点，连接，
∵是的中点，
∴∥，. ……………1分
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥. ……………2分
∵，
∴∥，.
∴四边形是平行四边形.
∴∥，. ……………3分
∵平面，平面，
∴∥平面. ……………4分
（2）证法1：取的中点，连接，则，
由（1）知，∥，且，
∴四边形是平行四边形.
∴∥，. ……………5分
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………6分
在△中，，，，
∴.
∴. ……………7分
∴，即.
∵四边形是正方形，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
证法2：在Rt△中，为的中点，
∴.
在△中，,
∴.
∴. ……………5分
∵∥,
∴. ……………6分
∵平面, 平面, ,
∴平面.
∵平面,
∴. ……………7分
∵四边形是正方形，
∴. ……………8分
∵平面, 平面, ,
∴平面. ……………9分
（3）解：连接，
在Rt△中，，
∴.
由（2）知平面，且∥，
∴平面. ……………10分
∵平面, ∥，
∴平面. ……………11分
∴四棱锥的体积为. ………12分
∴三棱锥的体积为. ………13分
∴五面体的体积为. ……………14分
19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当时，， ……………1分
当时， ……………2分
. ………3分
∵是等差数列，
∴，得. ……………4分
又， ……………5分
∵成等比数列，
∴，即， ……………6分
解得. ……………7分
解法2：设等差数列的公差为，
则. ……………1分
∵，
∴，，. ……………4分
∴，，.
∵成等比数列，
∴， ……………5分
即.
解得. ……………6分
∴. ……………7分
（2）解法1：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴，①
……………10分
，② ……………11分
①②得.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：由（1）得. ……………8分
∵，
∴. ……………9分
∴.
……………10分
由， ……………11分
两边对取导数得，. …………12分
令，得.
∴. ……………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解法1：函数的定义域为, ……………1分
∵， ∴. ……………2分
∵ 函数在上单调递增，
∴ , 即对都成立. ……………3分
∴ 对都成立. ……………4分
当时, , 当且仅当, 即时,取等号.
……………5分
∴, 即.
∴的取值范围为. ……………6分
解法2：函数的定义域为, ……………1分
∵， ∴.……………2分
方程的判别式. ……………3分
当, 即时, ,
此时, 对都成立,
故函数在定义域上是增函数. ……………4分
当, 即或时, 要使函数在定义域上为增函数, 只需对都成立.
设, 则得.
故. ……………5分
综合①②得的取值范围为. ……………6分
（2）解：当时, .
. ……………7分
∵ 函数在N上存在极值，
∴ 方程在N上有解,
即方程在N上有解. ……………8分
令, 由于, 则,
∴函数在上单调递减. ……………9分
∵, ……………10分
, ……………11分
∴函数的零点. ……………12分
∵方程在 N上有解, N
∴. ……………13分
∵N，
∴的最大值为. ……………14分
21．（本小题满分14分）
（1）解：∵点在抛物线上， ∴. ……………1分
第（2）、（3）问提供以下两种解法：
解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.
设点的坐标分别为，依题意，，
由消去得，
解得.
∴. ……………2分
直线的斜率，
故直线的方程为. ……………3分
令，得，∴点的坐标为. ……………4分
同理可得点的坐标为. ……………5分
∴
. ……………6分
∵， ∴.
由，得，
解得, 或, …………… 7分
∴直线的方程为，或. ……………9分
（3）设线段的中点坐标为，
则
. ……………10分
而， ……………11分
∴以线段为直径的圆的方程为.
展开得. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分
解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.
设直线的方程为，点的坐标为，
由解得
∴点的坐标为. ……………2分
由消去，得，
即，解得或.
∴，.
∴点的坐标为. ……………3分
同理，设直线的方程为，
则点的坐标为，点的坐标为. …………4分
∵点在直线上，
∴.
∴. ……………5分
又，得，
化简得. ……………6分
， ……………7分
∵，
∴.
∴.
由，
得，
解得. ……………8分
∴直线的方程为，或. …………… 9分
（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，
则， ……………10分
得， ……………11分
整理得，. ……………12分
令，得，解得或. ……………13分
∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分
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