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乌鲁木齐二模理科
数学试题答案(word版)下载
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乌鲁木齐地区2015年高三年级第二次诊断性测验
一、选择题:共12小题,每小题5分,共60分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
选项 C D C B D A A C C C A B
1.选C.【解析】∵ , ,∴ ,
故选C.
2.选D.【解析】∵ ,其共轭复数是 故选D.
3.选C.【解析】依题意, ,则
故选C.
4.选B. 【解析】①错,②对,③对,④错. 故选B.
5.选D.【解析】 ,曲线在 处切线的斜率 ,∵此切线与直线 垂直,∴直线 的斜率 ,即 . 故选D.
6.选A.【解析】由题意得 ,即 解得:
,∵ 是区间 上的减函数,
∴ ,∴ ,故选A.
7.选A.【解析】如图该几何体为一三棱锥,设外接球半径为
由题意得 ,解得 ∴ ,故选A.
8.选C.【解析】执行第一次运算 ,
执行第二次运算 ,执行第三次运算 ,执行第四次运算 输出 .故选C.
9.选C.【解析】将四个不同小球放入四个不同盒子,每个盒子放一个小球,共有 种不同放法,放对的个数 可取的值有0,1,2,4. 其中 , , , ,
.故选C.
10.选C.【解析】∵ 为奇函数,则函数 的图像关于点 对称,则函数 的图象关于点 对称,故函数 满足 .
设 ,倒序后得 ,两式相加后得 ,
∴ .故选C.
11.选A.【解析】 ,渐近线方程为 直线 的方程为: ,设 , 依题意知, 分别满足 , ,得 ∵ ,∴ ,
∴ ,化简得 .故选A.
12.选B.【解析】∵ ,∴ ,即
,整理的 ,则 ,∵ ,∴ ,∴ 为锐角,故 为锐角,则 ,
,当且仅当 时等号成立,
∴ 的最大值为 .故选B.
二、填空题
13.填 .【解析】由题意得: ,∴ .
14.填 .【解析】∵ ,∴ ,∵ ,
∴ ,∴ ,
∴
15.填 .【解析】
若 ,由 得 ,得 ,与 矛盾;
若 ,由 得 ,得 ,与 矛盾;
若 ,由 得 ,得 ,
而 ,∴ ,∴
16.填 .【解析】依题意知,直线 的斜率 存在,且 ,
设其方程为 代入 有
设 则 ,又 , ,∴ ,而 异号,∴ ,∵ ,又∵ ,
故 ,即 ,将 , 代入,有 ,∴ ,又 ,
∴
三、解答题
17.(12分)
(Ⅰ)当 时, ,得 ,由 得 ,两式相减,得 ,即 ,∴ ,而 ,∴数列 是首项为 ,公比为 的等比数列; …6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ,即 ,
∴
令
则
两式相减得
∴ ,∴ …12分
18. (12分)
(Ⅰ)连结 ,∵四边形 是菱形,∴
又∵ ,∴ 是等边三角形,
∵ 是 中点, ∴ ,
∵ 平面 , 平面 ,
∴ ,在平面 中
∴ 平面
∴平面 平面 ; …6分
(Ⅱ)设 交于点 ,过 作 ,
以点 为坐标原点,分别以 所在直线为 轴, 轴, 轴,如图所示,建立空间直角坐标系:∵四边形 是边长为 的菱形, 得 , , ,
于是
∵ 是 的中点, ∴ ,∵ 平面 ,
∴平面 的一个法向量为 设平面 的法向量
∵ ,由 得 ,
令 ,得 , ,∴ ,∴
∴二面角 的平面角的余弦值为 . …12分
19.(12分)
(Ⅰ)上半年的数据为:
其“中位数”为 ,优质品有6个,合格品有10个,次品有9个.下半年的数据为: 其“中位数”为 ,优质品有9个,合格品有11个,次品有5个.则该企业生产一件产品的利润的分布列为: …5分
(Ⅱ)由题意得:
上半年 下半年
优质品
非优质品
由于 ,所以没有 的把握认为“优质品与生产工艺改造有关”. …12分
20.(12分)
(Ⅰ)已知椭圆 的右焦点为 ,∴
又直线 与椭圆有且仅有一个交点,∴方程组 有且仅有一个解,
即方程 有且仅有一个解
∴ ,即 ,又∵ ,
∴ ,∴椭圆 的标准方程是 ; …5分
(Ⅱ)依题意知椭圆的右焦点 的坐标为 ,直线 的方程为 (其中 为直线 在 轴上的截距)设
解方程组 ,得关于 的一元二次方程
即
,即
∵ 是方程的两个解,∴ , ,
∵ ,
∴
,∵ ,∴
即 ,∴
即 ,又 ,∴ ,即 ,∴ ,而 ,∴ ,解得 或 ,
∴ 或 …12分
21.(12分)
(Ⅰ)∵ ,∵ ∴ ,∴ ,
∴ ,∴函数 在区间 上单调递增. …4分
(Ⅱ)⑴当 时, ,
由 知 , ,则 , ,
∴
∴当 时,函数 在 上无零点;
⑵当 时, ,
令 ,得 ,由 ,知 ,∴ ,
∴ ,∴当 时, ,∴ ,
当 时, ,∴
∴函数 在区间 上为增函数,在区间 上为减函数.
∴
由 , ; , 成立,
∴ , , ,
取
当 时, ,∴当 时
∴ ,即
又
由函数零点定理和函数 在区间 为增函数,且
∴ 使得 ,取 ,
由 ,知 ,∴当 时,都有 ,
∴ , ,∵ ,
∴
从而 ,∴ ,∴ 使得
∴当 时,函数 在 上有两个零点;
⑶当 时
由⑵知函数 在区间 上为增函数,在区间 为减函数.
∴ ,∴对 ,
且当 时, ,当 时,
从而当 时,函数 有且仅有一个零点;
⑷当 时, ,
由⑵知函数 在区间 为增函数,在区间 为减函数,
,∴对 , 。
此时 在 上无零点.
综上所述:⑴当 时,函数 在 上无零点;
⑵当 时,函数 在 上有两个零点;
⑶当 时,函数 在 上有一个零点;
⑷当 时,函数 在 上无零点. …12分
22.(10分)
(Ⅰ)连结 ,∵ 是圆的切线, 是弦∴
∵ ,∴ ,∴ ,
又∵ , ,∴ ∽ ,
∴ ,∴ ,
∴ ; …5分
(Ⅱ)设 与半圆交于点 ,连结 ,∵ 是圆的切线,∴ ,
又∵ , ,∴ ∽ ,∴ ,
∴ ,∴
. …10分
23.(10分)
(Ⅰ)圆 的参数方程为 ( 为参数);
直线 的参数方程为 ( 为参数); …5分
(Ⅱ)圆 的极坐标方程为 ,直线 的极坐标方程为 ,设 点的极坐标为 , 点的极坐标为 依题意有: , ,
∴ 为定值. …10分
24.(10分)
(Ⅰ) ,其图像如图所示.
令 解得 ,∴ 的解集为 …5分
(Ⅱ)如图,当 时, ,要使 ,需且只需 ,
而 =3时,有 ,或 ,即 ,或 ,得 .
…10分
以上各题的其他解法,限于篇幅从略,请相应评分.
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