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2015黄冈3月调研考试文科
数学答案解析
一、选择题1-5 ADBBC 6-10 ACBCD
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二、填空题
11.49 12. 13. - 14.-2015 15.①③④ 16. 17.1
三、解答题
18.解:(Ⅰ)f(x)=2(32sinx+12cosx)cosx-12 =3sinxcosx+cos2x-12
=32sin2x+12cos2x=sin(2x+π6)…………………………5分
令-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ得
x∈[-π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)
即函数f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ] (k∈Z)……………6分
(Ⅱ)∵0<A<π ∴π6<2A+π6<136π , f(A)=sin(2A+π6)=32
∴2A+π6=π3或2A+π6=23π,即A=π12或A=π4…………………………8分
①当A=π12时,C=23π,a=22sinA=6-24·22=3-1 , S△ABC=12absinC=3-32 ………10分
②当A=π4时,C=π2, S△ABC=12ab=2 …………………………………………12分
19. 解:(Ⅰ)由an2=S2n-1
令n=1得a12=S1=a1解a1=1
令n=2得a22=S3=3a2,得a2=3
∵{an}为等差数列,∴an=2n-1 ………………………………3分
证明:∵bn+1 0, bn+1+1bn+1=12bn-12+1bn+1=12(bn+1)bn+1=12
又b1+1=12,故{bn+1}是以12为首项公比为12的等比数列.………………6分
(Ⅱ)由(1)知,
………………………………………12分
20. (Ⅰ)证明:由AD⊥平面ABC,BC⊂平面ABC得
AD⊥BC ①
又AA1⊥平面ABC AA1⊥BC ②
AA1∩AD=A ③
由①②③得BC⊥平面A1AB BC⊥AB …………………… 6分
(Ⅱ)Rt△ADB中,sin∠ABD=234=32,
故∠ABD=π3
Rt△AA1B中,AA1=ABtan∠ABD=43
故VP—A1BC=VA1—PBC
=12VA1—ABC=12×13×12×2×4×43=833
即三棱锥P-A1BC的体积为833 . ……………………………………13分
21.(1)∵f'(x)=3x2+4x=x(3x+4)
f(x)在(-∞,-43)和(0,+∞)上递增,在(-43,0)上递减
∴ f(x)的极大值为f(-43)=3227
f(x)的极小值为f(0)=0. …………………………………………4分
(2) f(x)≥ax+4xlnx恒成立 ,
即x3+2x2-4xlnx≥ax对∀x∈(0,+∞)恒成立.
也即a≤x2+2x-4lnx对x∈(0,+∞)恒成立. 令g(x)= x2+2x-4lnx, 只需a≤g(x)min即可 .
g'(x)= 2x+2-4x =2(x-1)( x+2)x, x∈(0,+∞), y= g(x)在(0,1)上递减, (1,+∞)上递增
g(x)min=g(1)=3 , ∴ a≤3 .…………………………………………9分
(3)由(2)知x>0时,x2+2x-4lnx≥3恒成立.
即(x-1)(x+3)≥4lnx 即(x-1)( x+3)4≥lnx恒成立.
令x=1+1n 得4n+14n2≥ln(1+1n), 即4n+14n2≥ln(n+1)-lnn
故4(n-1)+14(n-1)2≥lnn-ln(n-1) …
4 2+14 22≥ln3-ln2
4 1+14 12≥ln2-ln1
把以上n个式子相加得
4 1+14 12+4 2+14 22+…+4n+14n2≥ln(n+1).……………………………14分
22. (Ⅰ) 当1<m<72时,曲线P表示焦点在y轴上的椭圆
当m=72时,曲线P表示圆
当72<m<6时,曲线P表示焦点在x轴上的椭圆……………………4分
(Ⅱ)当m=5时,曲线P为x24+y2=1,表示椭圆
依题意可知直线l的斜率存在且不为0,设直线l:x= y+1,A(x1,y1) B(x2,y2)
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