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第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知复数 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2、设集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
3、给定函数① ② ③ ④ ，其中在区间 上单调递减的函数序号是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
4、在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
5、为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分（10分制）的频率分布直方图如图所示，假设得分值的中位数为 ，
众数 ，平均数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
6、某电视台的一个综艺栏目对六个不同的节目排演出顺序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，则不同的排法共有（ ）
A．192种 B．216种 C．240种 D．288种
7、若函数 的图象如图所示，则 的范围为（ ）
A． B． C． D．
8、设双曲线 的离心率为2，且一个焦点与抛物线 的交点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9、已知函数 ，若函数 在R上有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、若函数 ，并且 ，则下列各结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.
11、如图，正方体 的棱长为1，E为棱 上的点，
为AB的中点，则三棱锥 的体积为
12、已知 满足不等式组 ，则 的最大值
与最小值的比为
13、定义在实数集R上的函数 满足 ，
且
现有以下三种叙述①8是函数 的一个周期；
② 的图象关于直线 对称；③ 是偶函数。
其中正确的序号是
14、执行如图中的程序框图，如果输入的 ，则输出的 所在区间是
15、在实数集R中，我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”类似的，我们在平面向量 上也可以定义一个称“序”的关系，记为“ ”，定义如下：对于任意两个向量 ，“ ”当且仅当“ ”或“ 且 ”，按上述定义的关系“ ”，给出如下四个命题：
①若 ，则
②若 ，则 ；
③对于 ，则对于任意 ；
④对于任意向量 ，若 ，则
其中真命题的序号为
三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、（本小题满分12分）
已知函数 ，且当 时， 的最小值为2，
（1）求 的值，并求 的单调递增区间；
（2）先将函数 的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的 ，再Ian个所得的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，求方程 在区间 上所有根之和。
17、（本小题满分12分）
如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且
（1）证明：平面ABEF 平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面DEF所成的二面角（锐角）的余弦值。
18、（本小题满分12分）
已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个，现从中随机取球，每次只取一球。
（1）若每次取球后都放回袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率；
（2）若每次取球后都不放回袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X次，求随机变量X的分布列与期望。
19、（本小题满分12分）
数列 的前n项和为 ，且
（1）求数列 的通项公式；
（2）若数列 满足： ，求数列 的通项公式；
（3）令 ，求数列 的 n项和 。
20、（本小题满分13分）
已知函数 （其中 是自然对数的底数）， 为 导函数。
（1）当 时，其曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 时， 都有解，求 的取值范围；
（3）若 ，试证明：对任意 恒成立。
21、（本小题满分14分）
已知焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ， 分别为左右焦点，过点 作直线交椭圆 于 （ 在 两点之间）两点，且 ， 关于原点 的对称点为 。
（1）求椭圆 的方程；
（2）求直线 的方程；
（3）过 任作一直线交过 三点的圆于 两点，求 面积的取值范围。
一、选择题
B D B A D B D C D D
二、填空题
11. 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答题：
16. 解：（1）函数 ，…2分
， ，得 ；…4分
即 ，由题意得 ，
得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ．…6分
（2）由题意得 ，又由 得 ，…9分
解得 ， 即 ，
，故所有根之和为 ．……12分
17.（１）证明：正六边形ABCDEF中，连接AC、BE，交点
为G，易知 ，且 ，
在多面体中，由 ，知 ，
故 …………………………………………2分
又 平面 ，故 平面 ，………………..5分
又 平面ABEF，所以平面ABEF 平面BCDE．…………6分
（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的坐标系．
由 ， ， ，
则
.
， ， ， ．..8分
设平面ABC的法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
同理，可得平面DEF的一个法向量为 ，………………….10分
所以 ，
所以平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为 ．……….12分
18. 解：（1）记事件 表示“第i次取到白球”（ ），事件 表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：
. ……2分
， ……………………………………4分
，……………………………………………………5分
另解：记随机变量 表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知 ……2分
则 ，..5分
（2）易知：随机变量X的取值分别为2，3，4，5 ……6分
，
， ， ……10分
∴随机变量X的分布列为：
X 2 3 4 5
P
……………………………………………………11分
∴随机变量X的期望为： . …………12分
19. 解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝2，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，
a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n…………3分
（2） ，① ②
②－①得， ，得bn＋1＝2(3n＋1＋1)，
又当n=1时，b1=8，
所以bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．…………………………7分
（3） ＝n(3n＋1)＝n•3n＋n，…………………8分
∴Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n)＋(1＋2＋…＋n)，
令Hn＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，① 则3Hn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1②，
① －②得，－2Hn＝3＋32＋33＋…＋3n－n×3n＋1＝ －n×3n＋1
∴ ， ……………………………………….10分
∴数列{cn}的前n项和． . ……12分
20. 解:（1）由 得 , ,..1分
所以曲线y= 在点(1, )处的切线斜率为 ,
, 曲线y= 切线方程为 ；
即 . …………………………………………………………4分
（2）由 得 ，令 ,
, ,
所以 在(0,1]上单调递减,又当x趋向于0时， 趋向于正无穷大，故
即 ； ……………………7分
（3）由 ，得 , …………………..8分
令 , 所以 ，
因此,对任意 , 等价于 ，
由 , .得 ，
因此,当 时, , 单调递增; 时, , 单调递减
所以 的最大值为 ,故 ，…………10分
设 ,
,所以 时 , 单调递增, ,
故 时, ,即 ，……………………12分
所以 .
因此,对任意 , 恒成立．………………………13分
21. 解.（1） 椭圆D； 的离心率为 ，
, 解之得m=2，…………………………………………………………2分
所以椭圆的方程为； ; ………………………………………………….3分
（2）设 ，则A, B的坐标满足方程组 ,
把（2）式代入（1）式化简得； ，……….5分
所以 ,
又因为 , 所以 , ,
所以 ，即 ,……………7分
解 , 得 ,…………….(3)
把（3）式代入 ，解之得
所以直线PA的方程为 ；………………….9分
（3）由（2）知 ，即 （或 ），
因A与C关于原点对称，所以 （或 ），
设过 三点的圆为 ，
则 解之得 ，
所以圆的方程为 ，………………….10分
设过F2的直线EF为； ，则 ，
原点O到直线EF的距离为 ，
所以 ，………………………12分
令 ，则 ，所以 ，
所以 = = ，
所以 ．……………………………14分
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