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2015
菏泽一模文科
数学答案
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、已知复数 ,则 等于( )
A. B. C. D.
2、设集合 ,则( )
A. B. C. D.
3、给定函数① ② ③ ④ ,其中在区间 上单调递减的函数序号是( )
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
4、在 中,若 ,则 的形状是( )
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
5、为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(10分制)的频率分布直方图如图所示,假设得分值的中位数为 ,
众数 ,平均数为 ,则( )
A. B.
C. D.
6、已知平面 ,直线 ,且有 ,给出下列命题:
①若 ,则 ;②若 ,则 ;③若 ,则 ;④若 ,则 ,其中正确命题个数有( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7、若函数 的图象如图所示,则 的范围为( )
A. B. C. D.
8、设双曲线 的离心率为2,且一个焦点与抛物线 的交点相同,则此双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9、已知函数 ,若函数 在R上有两个零点,则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
10、若函数 ,并且 ,则下列各结论正确的是( )
A. B.
C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卷的横线上。.
11、圆心在直线 上的圆与y轴交于两点 ,则该圆的标准方程为
12、已知 满足不等式组 ,则 的最大值
与最小值的比为
13、定义在实数集R上的函数 满足 ,
且
现有以下三种叙述①8是函数 的一个周期;
② 的图象关于直线 对称;③ 是偶函数。
其中正确的序号是
14、执行如图中的程序框图,如果输入的 ,则输出的 所在区间是
15、在实数集R中,我们定义的大小关系“ ”为全体实数排了一个“序”类似的,我们在平面向量 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ”,定义如下:对于任意两个向量 ,“ ”当且仅当“ ”或“ 且 ”,按上述定义的关系“ ”,给出如下四个命题:
①若 ,则
②若 ,则 ;
③对于 ,则对于任意 ;
④对于任意向量 ,若 ,则
其中真命题的序号为
三、解答题:本大题共6小题,满分75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16、(本小题满分12分)
已知函数 ,且当 时, 的最小值为2,
(1)求 的值,并求 的单调递增区间;
(2)先将函数 的图象上的点纵坐标不变,横坐标缩小到原来的 ,再Ian个所得的图象向右平移 个单位,得到函数 的图象,求方程 在区间 上所有根之和。
17、(本小题满分12分)
如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且
(1)证明:平面ABEF 平面BCDE;
(2)求三棱锥 的体积
18、(本小题满分12分)
某高三年级从甲(文)乙(理)两个年级组各选出7名学生参加高校自主招生
数学选拔考试,他们取得的成绩(满分:100分)的茎叶图如图所示,其中甲组学生的平均分是85,乙组学生成绩的中位数是83.
(1)求 和 的值;
(2)计算甲组7位学生成绩的方差 ;
(3)从成绩在90分以上的学生中随机取两名学生,求甲组至少有一名学生的概率。
19、(本小题满分12分)
数列 的前n项和为 ,且
(1)求数列 的通项公式;
(2)若数列 满足: ,求数列 的通项公式;
(3)令 ,求数列 的 n项和 。
20、(本小题满分13分)
设函数
(1)当 时,求函数 的单调区间;
(2)令 ,其图象上任意一点 处切线的斜率 恒成立,求实数 的取值范围。
(3)当 时,方程 在区间 内有唯一实数解,求实数 的取值范围。
21、(本小题满分14分)
椭圆 过点 ,离心率为 ,左右焦点分别为 ,过点 的直线交椭圆于 两点。
(1)求椭圆 的方程;
(2)当 的面积为 时,求 的方程。
一、选择题
B D B A D B D C D D
二、填空题
11.(x-2)2+(y+3)2=5 12. 2∶1 13. ①②③ 14. 15. ①②③
三、解答题:
16. 解:(1)函数 ,…2分
, ,得 ;…4分
即 ,由题意得 ,
得 ,
所以函数 的单调递增区间为 .…6分
(2)由题意得 ,又由 得 ,…9分
解得 , 即 ,
,故所有根之和为 .……12分
17. (1)证明:正六边形ABCDEF中,连接AC、BE,交点为G,
易知 ,且 ,
在多面体中,由 ,知 ,
故 ………………………………2分
又 平面BCDE,
故 平面BCDE,……………………….5分
又 平面ABEF,所以平面ABEF 平面BCDE;…6分
(2)连接AE、CE,则AG为三棱锥 的高,GC为
的高.在正六边形ABCDEF中, ,
故 ,…………..9分
所以 .……12分
18. 解(1)∵甲组学生的平均分是85,
∴ . ∴x=5. ………………………………1分
∵乙组学生成绩的中位数是83, ∴y=3. …………………………………… 2分
(2)甲组7位学生成绩的方差为:
……………………………………5分
(3)甲组成绩在90分以上的学生有两名,分别记为A,B,
乙组成绩在90分以上的学生有三名,分别记为C,D,E. ……………………6分
从这五名学生任意抽取两名学生共有10种情况:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)……………………9分
其中甲组至少有一名学生共有7种情况:
(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E) ……………………………………11分
记“从成绩在90分以上的学生中随机抽取两名学生,甲组至少有一名学生”为事件M,
则 .…………………………………………………………………………12分
19. 解:(1)当n=1时,a1=S1=2,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)-(n-1)n=2n,
a1=2满足该式,∴数列{an}的通项公式为an=2n…………3分
(2) ,① ②
②-①得, ,得bn+1=2(3n+1+1),
又当n=1时,b1=8,
所以bn=2(3n+1)(n∈N*).…………………………7分
(3) =n(3n+1)=n•3n+n,…………………8分
∴Tn=c1+c2+c3+…+cn=(1×3+2×32+3×33+…+n×3n)+(1+2+…+n),
令Hn=1×3+2×32+3×33+…+n×3n,① 则3Hn=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1②,
① -②得,-2Hn=3+32+33+…+3n-n×3n+1= -n×3n+1
∴ , ……………………………………….10分
∴数列{cn}的前n项和. . ……12分
20. 解:(1)依题意,知 的定义域为 ,
当 时, ,
………………………………………….2分
令 ,解得 或 (舍去),
当 时, ;当 时, ,
所以 的单调增区间为 ,减区间为 ;…………….4分
(2)由题意知 ,则有 在(0,3)上恒成立,所以 ,当x0=1时, 取得最大值 ,
所以 ;………………………………………………………………………………8分
(3)当 时, ,
由 ,得 ,又 ,所以 ,
要使方程 在区间 上有唯一实数解,
只需 有唯一实数解,……………………………………………10分
令 ,∴ ,由 得 ; ,得 ,
∴ 在区间 上是增函数,在区间 上是减函数.
,故 . ……………………13分
21. 解:(1) 椭圆 过点 , 离心率为 ,∴ ,又 ,
椭圆C的方程: ; …….5分
(2)由(1)知 ,①当l的倾斜角是 时,l的方程为 ,
交点 ,此时 ,不合题意. ….7分
②当l的倾斜角不是 时,设l的斜率为k,则其直线方程为 ,
由 消去y得: ,……….……….9分
设 ,则 ,………………10分
, ……………………...12分
又已知 ,
解得 ,
故直线l的方程为 ,即 或 . ………….14分
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