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阳光高考提供：湖南师大附中2013年高考
数学考前模拟试卷及其答案详解
阳光高考提示以下是湖南师大附中2013年高考
数学考前模拟试卷：
启用前*绝密
湖南师大附中
2013届高中毕业班考前模拟卷(一)
数 学 试 题
本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分100分。
一、选择题（本大题包括10小题，每小题4分，满分40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设合集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，4}，B={2，3，6}，则 =
A．{1，2，3，4} B．{1，2，4，5}
C．{1，3，4，5} D．{1，3，4，6}
2．已知 所在的象限是
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．函数 的大致图象是
4．在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若 ，C=75°，则b=
A． B． C． D．2
5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如下：
经检验，这组样本数据具有线性相关关系，那么对于加工零件的个数x与加工时间y这两个变量，下列判断正确的是
A．成正相关，其回归直线经过点（30，76）
B．成正相关，其回归直线经过点（30，75）
C．成负正相关，其回归直线经过点（30，76）
D．成负相关，其回归直线经过点（30，75）
6．已知一个几何体的三视图如所示，其中正视图和侧视图都
是底边长为6，腰长为10的等腰三角形，俯视图是半径
为3的圆，则这个几何体的表面积是
A．69 B．24
C．30 D．39
7．如图，以等腰直角三角形的直角顶点为圆心，直角边长为半径作圆，如果向圆心内随机抛掷一点，则该落点在三角形阴影区域内的概率是
A． B．
C． D．
8．某中学高二年级的一个研究性学习小组拟完成下列两项调查：
①从某社区430户高收入家庭，980户中等收入家庭，290户低收入家庭中任意选出170户调查社会购买力的某项指标；
②从本年级12名体育特长生中随机选出5人调查其学习负担情况；
则该研究性学习小组宜采用的抽样方法分别是
A．①用系统抽样，②用简单随机抽样
B．①用系统抽样，②用分层抽样
C．①用分层抽样，②用系统抽样
D．①用分层抽样，②用简单随机抽样
9．设不等式组 表示的平面区域为M，点P为区域M内任意一点，则点P到直线 的距离的最小值是
A．4 B．3 C．2 D．1
10．过点P（—2，3）作圆 的一条切线，切点为M，则切线长|PM|=
A．5 B．4 C．3 D．2
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分。
11．已知 ，则 的值为 。
12．若关于x的方程 有实根，则实数m的取值范围是 。
13．已知 则向量a与b的夹角是 。
14．设等比数列 的公比为q，其前n项和为 ，若 = 。
15．已知两定点A（1，—2），B（2，3），若直线 与线段AB有公共点，则k的取值范围是 。
三、解答题：本大题共5小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分6分）
已知函数 其中a为常数。
（1）若 的最大值为3，求a的值；
（2）将函数 的图象向左平移 个单位，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，写出函数 的表达式，并指出其最小正周期。
17．（本小题满分8分）
先后抛掷一枚骰子，得到的点数分别记为a，b.
（1）阅读下边的程序，若a=3,b=5，求程序运行后计算机输出的结果；
（2）记 为事件A，求事件A发生的概率。
18．（本小题满分8分）
如图，三棱锥P—ABC的底面ABC是边长为2的正三角形，且PB=PC= .
（1）求证PA⊥BC；
（2）若侧面PBC⊥底面ABC，求直线PA与底面ABC所成的角的大小。
19．（本小题满分8分）
一家冷饮厂于2013年初，用98万元购进一台数控冰激凌机，并立即投入生产，预计该机第一年（今年）的维修保养费是12万元，从第二年起，该机每年的维修保养费均比上一年增加4万元。
（1）求该机使用10年后，所需维修保养费共计多少万元；
（2）若当该机的年平均耗费最小时将这台冰激凌机报废，求这台冰激凌机的使用年限。（注：年平均耗费是指购买和各年的维修保养费的总和的年平均费用）
20．（本小题满分6分）
已知函数
（1）求函数 的定义域；
（2）若 ，试比较 的大小；
（3）设 ，若函数 有且只有一个零点，求实数k的取值范围。
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