泉州市2016届高三第二次（5月）质量检查

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1. 已知复数,则等于（   ）

A．                B．               C．                D．

2. 已知角的终边经过,则等于（   ）

A．              B．                C．               D．

3. 已知命题“若直线与平面垂直, 则直线与平面内的任意一条直线垂直”, 则其逆命题、否命题、逆否命题中, 真命题的个数是（   ）

A．                B．                 C．                 D．

4. 已知,若,则等于（   ）

A．               B．               C．                 D．

5. 运行如图所示的程序框图, 则输出的的值为 （   ）

A．               B．                C．                 D．

6. 已知满足,则的最大值是（   ）

A．               B．                C．                D．

7. 已知抛物线,若等边三角形中,在上,在的准线上,为的焦点, 则（   ）

A．                 B．                C．               D．

8. 如图, 网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某几何体的三视图, 则该几何体的体积为 （   ）

A．               B．               C．                D．

9. 已知函数,若,则函数的单调递增区间为（   ）

A．                 B．

C．                 D．

10. 已知函数,则下列判断错误的是（   ）

A．                  B．

C．                  D．

11. 已知是圆的一条直径, 点在圆上, 则的最小值为（   ）

A．               B．                C．               D．

12. 已知函数有且仅有两个零点, 则实数的取值范围是（   ）

A．         B．          C．         D．

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知正方形的四个顶点分别为,将轴、直线和曲线所围成的封闭区域记为,若在正方形内任取一点,则点落在内的概率等于         ．

14. 已知双曲线的一条渐近线的方程为是上一点, 且的最小值等于,则该双曲线的标准方程为         ．

15. 正四棱锥中, 为底面的中心, 以为直径的球分别与交于,若球的表面积为,则四边形的面积等于         ．

16. 中, 于,则边上中线的长等于         ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 

17. （本小题满分12分）已知数列的前项和为.

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足,且,求实数的最大值.

18. （本小题满分12分）某公司采用众筹的方式募集资金, 开发一种创新科技产品, 为了解募集资金(单位：万元) 与收益率之间的关系, 对近个季度筹到的资金和收益率的数据进行统计, 得到如下数据表：

（1）通过绘制并观察散点图的分布特征后, 分别选用 与作为众筹到的资金与收益率 的拟合方式,再经过计算,得到这两种拟合方式的回归方和下表统计数值, 试运用相关指数比较以上两回归方程的拟合效果；

(2) 根据拟合效果较好的回归方程,解答：

①预测众筹资金为万元时的收益率.( 精确到)

②若众筹资金服从正态分布,试求收益率在以上的概率.

附：相关指数；http://zhongkao.xuecan.net/moniti/shuxue/

若随机变量,则,；

参考数据：

19. （本小题满分12分）如图,四棱锥中, 平面.

（1）在平面内, 过点作直线,使得平面(保留作图痕迹), 并加以证明； 

（2）求直线和平面所成角的正弦值.

20. （本小题满分12分）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的上顶点、右顶点, 原点到直线的距离为.

（1）求的方程；

（2）直线的斜率均为,直线与相切于点(点在第二象限内), 直线与相交于两点,, 求直线的方程.

21. （本小题满分12分）已知函数 的图象与轴交于两点.

（1）设曲线在处的切线的斜率分别为,求证：；

（2）设是的极值点, 比较的大小. 

请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图, 圆是的外接圆, 垂直平分并交圆于点, 直线与圆相切于点,与的延长线交于点.

（1）求的大小；

2）若,求的长.zhongkao.xuecan.net