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阳光高考 yggk.net 2013年广州市高考备考冲刺阶段理科
数学学科训练材料
说明：
⒈ 本训练题由广州市中学
数学教学研究会高三中心组与广州市高考
数学研究组共同编写，共24题．
⒉ 本训练题仅供本市高三学生考前冲刺训练用，希望在5月31日之前完成．
3．本训练题与市高三质量抽测、一模、二模等
数学试题在内容上相互配套，互为补充．四套试题覆盖了高中
数学的主要知识和方法．因此，希望同学们在5月31日至6月6日之间，安排一段时间，对这四套试题进行一次全面的回顾总结，同时，将高中
数学课本中的基本知识（如概念、定理、公式等）再复习一遍．x
希望同学们保持良好的心态，在高考中稳定发挥，考取理想的成绩！
1. 已知函数 ， 的最大值是1，其图像经过点
．
（1）求 的解析式；
（2）已知 ，且 ， ，求 的值．
2. 设函数 .
（1）若 是函数 的一个零点，求 的值；
（2）若 是函数 的一个极值点，求 的值.
3. 在 中，内角 所对的边长分别是 , 已知 ， .
（1）求 的值；
（2）若 为 的中点，求 的长.
4. 一缉私艇发现在方位角（从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角）45°方向，距离15 海里的海面上有一走私船正以25 海里/小时的速度沿方位角为105°的方向逃窜．若缉私艇的速度为35 海里/小时，缉私艇沿方位角为45°+α的方向追去，若要在最短时间内追上该走私船．
（1）求角α的正弦值；
（2）求缉私艇追上走私船所需的时间．
5. 某网站用“10分制”调查一社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度为“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极幸福”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记 表示抽到“极幸福”的人数，求 的分布列及
数学期望．
6.汽车是碳排放量比较大的行业之一．欧盟规定，从2012年开始，将对 排放量超过
的 型新车进行惩罚．某检测单位对甲、乙两类 型品牌车各抽取 辆进行
排放量检测，记录如下(单位： ).
甲 80 110 120 140 150
乙 100 120
160
经测算发现，乙品牌车 排放量的平均值为 ．
（1）从被检测的5辆甲类品牌车中任取2辆，则至少有一辆不符合 排放量的概率是多少？
（2）若 ，试比较甲、乙两类品牌车 排放量的稳定性．
7．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为 ．
（1）求 的分布列；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 ，一等品率提高为 ．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
8．如图，在四棱锥 中，底面为直角梯形， 底
面 ， ， 分别为 的中点．
（1）求证： ；
（2）求 与平面 所成的角的正弦值．
9．一个三棱锥 的三视图、直观图如图．
（1）求三棱锥 的体积；
（2）求点C到平面SAB的距离；
10．如图， 为圆 的直径，点 、 在圆 上， ，矩形 所在的平面
和圆 所在的平面互相垂直，且 ， ．
（1）求证： 平面 ；
（2）设 的中点为 ，求证： 平面 ；
（3）设平面 将几何体 分成的两个锥体
的体积分别为 ， ，求 ．
11.已知等比数列 的公比 ， ，且 、 、 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
12.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度 （单位：千米/小时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0 ；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数．
(1)当 时，求函数 的表达式；
(2)当车流密度 为多大时，车流量 可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）. (车流量为单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时） ，
第一年植树100亩，以后每年比上一年多植树50亩．
（1）若所植树全部成活，则到哪一年可以将荒山全部绿化？
（2）若每亩所植树苗木材量为2立方米，每年树木木材量的自然增长率
为20％，那么到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量是多少？
（精确到１立方米, ）
14. 已知抛物线 与双曲线 有公共焦点 ，点
是曲线 在第一象限的交点，且 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）以双曲线 的另一焦点 为圆心的圆 与直线 相切，圆 ：
．过点 作互相垂直且分别与圆 、圆 相交的直线 和 ，设 被圆 截得的弦长为 ， 被圆 截得的弦长为 ． 是否为定值？请说明理由．
15. 如图，长为m＋1（m＞0）的线段AB的两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，点M是线段AB上一点，且→AM＝m→MB．
（1）求点M的轨迹Γ的方程，并判断轨迹Γ为何种圆锥曲线；
（2）设过点Q(12，0)且斜率不为0的直线交轨迹Γ于C、D两点．
试问在x轴上是否存在定点P，使PQ平分∠CPD？若存在，求点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
16.已知数列 的前 项和的平均数为
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，试判断并说明 的符号；
（3）设函数 ，是否存在最大的实数 ? 当 时，对于一切非零自然数 ，都有
17. 数列 满足 ，且 时， ，
（1） 求数列 的通项公式；
（2） 设数列 的前 项和为 ，求证对任意的正整数 都有
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）试讨论函数 的单调性．
19.已知函数 的图像在点 处的切线方程为 .
（1）用 表示出 ；
（2）若 在 上恒成立，求 的取值范围；
（3）证明： .
20.如图,已知直线 及曲线 上的点 的横坐标为 ( ).从曲线 上的点 作直线平行于 轴，交直线 作直线平行于 轴，交曲线 的横坐标构成数列 .
(1)试求 的关系;
(2)若曲线 的平行于直线 的切线的切点恰好介于点 之间
(不与 重合),求 的取值范围;
(3)若 ,求数列 的通项公式.
21. 已知函数 的导函数是 , 对任意两个不相等
的正数 , 证明: (1)当 时, ;
(2)当 时, .
22. 对于函数 ，若存在 ∈R，使 成立，则称 为 的不动点．
如果函数 ＝ 有且仅有两个不动点0和2．
（1）试求b、c满足的关系式；
（2）若c＝2时，各项不为零的数列{an}满足4Sn• ＝1，
求证： ＜ ＜ ；
（3）在(2)的条件下, 设bn＝－ ， 为数列{bn}的前n项和，
求证： ．
23.已知定义在 上的单调函数 ，存在实数 ，使得对于任意实数 ，总有 恒成立．
（1）求 的值；
（2）若 ，且对任意正整数 ，有 ，
记 ，比较 与 的大小关系，并给出证明．
24. 已知函数 ，设 在点 N*）处的切线在 轴上的截距为 ，数列 满足： N*）．
（1）求数列 的通项公式；
（2）在数列 中，仅当 时， 取最小值，求 的取值范围；
（3）令函数 ，数列 满足： ， N*），
求证：对于一切 的正整数，都满足： ．
2013年广州市高考备考冲刺阶段
数学学科(理科)训练材料参考答案
1. 解：（1）依题意有 ，则 ，将点 代入得 ，
而 ， ， ，故 .
（2）依题意有 ，而 ，
，
.
2. 解：（1） 是函数 的一个零点, ∴ , 从而 .
∴
（2） , 是函数 的一个极值点
∴ , 从而 .
∴ .
3. 解：（1） 且 ，∴ ．
∴
．
（2）由（1）可得 ．
由正弦定理得 ，即 ，解得 ．
在 中， ， ，∴ ．
4. 解：（1）设缉私艇追上走私船所需的时间为t小时，
则有|BC|＝25t，|AB|＝35t，
且∠CAB＝α，∠ACB＝120°，
根据正弦定理得： ，
即 ， ∴ sinα＝ ．
（2）在△ABC中由余弦定理得：|AB|2＝|AC|2＋|BC|2－2|AC||BC|cos∠ACB，
即 （35t）2＝152＋（25t）2－2•15•25t•cos120°，即24t2―15t―9＝0，
解之得：t=1或t=－ （舍）
故缉私艇追上走私船需要1个小时的时间．
5.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75
（2）设 表示所取3人中有 个人是“极幸福”，至多有1人是“极幸福”记为事件 ，则
（3） 的可能取值为0、1、2、3.
；
；
高考资源网
所以 .
另解： 的可能取值为0、1、2、3.高..考.资., 则 ， .
的分布列为
所以 = .
6. 解：（1）从被检测的 辆甲类品牌车中任取 辆，共有 种不同的 排放量结果：
( )；( )；( )；( )；( )；
( )；( )；( )；( )；( ).
设“至少有一辆不符合 排放量”为事件 ，则事件 包含以下 种不同的结果：
( )；( )；( )；( )；( )；( )；( ).
所以， . 答：至少有一辆不符合 排放量的概率为
（2）由题可知， ， .
， ，∴乙类品牌车碳排放量的稳定性好.
7．解（1） 的所有可能取值有6，2，1，-2； ，
，
故 的分布列为：
6 2 1 -2
0.63 0.25 0.1 0.02
（2）
（3）设技术革新后的三等品率为 ，则此时1件产品的平均利润为
依题意， ，即 ，解得 所以三等品率最多为 .
8．（1）解法1：∵ 是 的中点， ，∴ ．
∵ 平面 ，所以 ．
又 ， ，∴ ， ．
又 ，∴ 平面 ．
∵ 平面 ，∴ ．
解法2：如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，设 ，
可得， ．
因为 ，所以 ．
（2）因为 ．
所以 ，又 ，所以 平面 ，
因此 的余角即是 与平面 所成的角．
因为 ．
所以 与平面 所成的角的正弦值为 ．
9. 解： （1）由正视图、俯视图知 ；
由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则 ，
平面 ， ；
由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，
则 ， 平面 ， ．如图．
（1）三棱锥 的体积 ．
解法一：
以O为原点，OA为 轴，过O且平行于BD的直线为 轴，OS为 轴，建立如图空间直角坐标系，可求 ， ，
设 是平面SAB的一个法向量，则
，取 ，
（2）可知 ，设点C到平面SAB的距离为 ，
则 ．
（3）可知 是平面ABC一个法向量，故 ，
二面角 的余弦值为 ．
解法二：
（2）可求 ， ，
，
△SAB的面积 ，
设点C到平面SAB的距离为 ，
由三棱锥 的体积 ，
得 ．
（3）作 于H，作 交AB于E，则 ，
连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而 ，故 ，
为二面角 的平面角．
△ABC中，易求 ，
由△ABC的面积， ， ，
△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故 ，
中， ，
故 ，二面角 的余弦值为 ．
10.（1）证明： 平面 平面 , ,
平面 平面 = ，
平面 ，
平面 ， ，
为圆 的直径， ， 平面 ．
（2）设 的中点为 ，则 ，又 ，
则 ， 为平行四边形，
，又 平面 ， 平面 ， 平面 ．
（3）过点 作 于 ， 平面 平面 ，
平面 ， ，
平面 ，
，
．
11.解：（1）因为 、 、 成等差数列，
所以 ，即 .
因为 ， ，所以 ，即 .
因为 ，所以 .所以 .
所以数列 的通项公式为 .
（2）因为 ，所以 .
所以
当 时，
；
当 时，
.
综上所述，
12. 解:(1)由题意，当 时， 当 时，设
由已知得 解得 . .
(2)依题意得
当 时， 为增函数，故 .
当 时， 时， 取最大值 .
答：车流密度 为100时，车流量 达到最大值3333.
13.解：（1）设植树 年后可将荒山全部绿化，记第 年初植树量为 ，
依题意知数列 是首项 ，公差 的等差数列，
则 , 即
∵ ∴
∴到2009年初植树后可以将荒山全部绿化．
（2）2002年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 ,
2003年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 ,……
2009年初木材量为 ，到2009年底木材量增加为 .
则到2009年底木材总量
----------①
---------②
②-①得
∴ ｍ2
答：到全部绿化后的那一年年底，该山木材总量为9060ｍ2
14. 解：（1）∵抛物线 的焦点为 ，
∴双曲线 的焦点为 、 ，
设 在抛物线 上，且 ，
由抛物线的定义得， ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，又∵点 在双曲线 上，由双曲线定义得，
，∴ ， ∴双曲线 的方程为： ．
（2） 为定值．下面给出说明．
设圆 的方程为： ， ∵圆 与直线 相切，
∴圆 的半径为 ，故圆 ： .
显然当直线 的斜率不存在时不符合题意，
设 的方程为 ，即 ，
设 的方程为 ，即 ，
∴点 到直线 的距离为 ，点 到直线 的距离为 ，
∴直线 被圆 截得的弦长 ，
直线 被圆 截得的弦长 ，
∴ ， 故 为定值 ．
15. 解：（1）设A、B、M的坐标分别为(x0，0)、(0，y0)、(x，y)，则
x20＋y20＝(m＋1)2， ①
由→AM＝m→MB，得(x－x0，y)＝m(－x，y0－y)，
∴x－x0＝－mx，y＝m(y0－y)．∴x0＝(m＋1)x，y0＝m＋1my． ②
将②代入①，得
(m＋1)2x2＋(m＋1m)2y2＝(m＋1)2，
化简即得点M的轨迹Γ的方程为x2＋y2m2＝1（m＞0）．
当0＜m＜1时，轨迹Γ是焦点在x轴上的椭圆；
当m＝1时，轨迹Γ是以原点为圆心，半径为1的圆；
当m＞1时，轨迹Γ是焦点在y轴上的椭圆．
（2）依题意，设直线CD的方程为x＝ty＋12，
由x＝ty＋12，x2＋y2m2＝1．消去x并化简整理，得(m2t2＋1)y2＋m2ty－34m2＝0，
△＝m4t2＋3m2(m2t2＋1)＞0，
设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
y1＋y2＝－m2tm2t2＋1，y1y2＝－3m24(m2t2＋1)． ③
假设在x轴上存在定点P(a，0)，使PQ平分∠CPD，
则直线PC、PD的倾斜角互补，
∴kPC＋kPD＝0，即y1x1－a＋y2x2－a＝0，
∵x1＝ty1＋12，x2＝ty2＋12，∴y1ty1＋12－a＋y2ty2＋12－a＝0，
化简，得4ty1y2＋(1－2a)( y1＋y2)＝0． ④
将③代入④，得－3m2tm2t2＋1－m2t(1－2a)m2t2＋1＝0，即－2m2t(2－a)＝0，
∵m＞0，∴t(2－a)＝0，∵上式对∀t∈R都成立，∴a＝2．
故在x轴上存在定点P(2，0)，使PQ平分∠CPD．
16.解：（1）由题意， ，两式相减得 ，而 ，
（2） ，
(3)由（2）知 是数列 的最小项.
当 时，对于一切非零自然数 ，都有 ,
即 ，即 ，
解得 或 ， 取 .
17. 解：（1） ，则 则
（2） 由于 ，因此，
又
所以从第二项开始放缩：
因此
18.解:（1） ，
当 时， ，即 时， 最小值为2．
当 时， ，在 上单调递增，所以 ．
所以 时， 的值域为 ．
（2）依题意得
①若 ，当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
②若 ，当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 递减，当 时， ， 递增．
当 时， ， 递增．
③若 ，当 时， ， 递减．
当 时，解 得 ，
当 时， ， 递增，
当 时， ， 递减．
④ ，对任意 ， ， 在 上递减．
综上所述，当 时， 在 或 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 ， 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减．
19. 解：（1） 则有 .
（2）由（1）得
令 ,
①当 时， .若 ， 是减函数，∴ ，即 故 在 不恒成立.
②当 时， .若 ， 是增函数，∴ ，
即 故 时 .综上所述， 的取值范围是 .
（3）由（2）知，当 时，有 .令 ，则 即当 时，总有 令 ，则 .将上述 个不等式累加得 整理得
20.解:(1)因为点 的坐标为 , 的坐标为 ,
所以点 的坐标为 ,则 故 的关系为
(2)设切点为 ,则 得 ,所以
解不等式 得 .
.
的取值范围是
(3) 由 得 ,即 ,故
,
所以数列 是以2为公比,首项为 的等比数列, 即 解得 ,
数列 的通项公式为 .
21. 略解：（1）
.
，
而 ,
又 ,得 ,
又 ,得 ,由于 ,故 .
所以 .
所以 .
（2） ，故
，
下面证明： 成立.
法1： .
令 ，则 ，
可知 .即 .
法2： 即
由于 .
令 ，则 ，可知 .
故 成立.
22. 解： (1)设
∴
(2)∵c＝2 ∴b＝2 ∴ ，
由已知可得2Sn＝an－an2……①，且an ≠ 1．
当n ≥ 2时，2 Sn -1＝an－1－ ……②，
①－②得(an＋an－1)( an－an－1＋1)＝0，
∴an＝－an－1 或 an＝－an－1 ＝－1，
当n＝1时，2a1＝a1－a12 a1＝－1，
若an＝－an－1，则a2＝1与an ≠ 1矛盾．∴an－an－1＝－1， ∴an＝－n．
∴要证不等式，只要证 ，即证 ，
只要证 ，即证 ．
考虑证不等式 (x＞0) . (**)
令g(x)＝x－ln(1＋x)， h(x)＝ln(x＋1)－ (x＞0) ．
∴ ＝ ， ＝ ，
∵x＞0， ∴ ＞0， ＞0，∴g(x)、h(x)在(0, ＋∞)上都是增函数，
∴g(x)＞g(0)＝0， h(x)＞h(0)＝0，∴x＞0时， ．
令 则(**)式成立，∴ ＜ ＜ ，
(3)由(2)知bn＝ ，则Tn＝ ．
在 中，令n＝1，2，3， ，2008，并将各式相加，
得 ，
即T2009－1＜ln2009＜T2008．
23.解:（1）令 ，得 ，
……①，
令 得 ．
……②
由①、②，得 ．
为单调函数， ．
（2）由（1）得
.
24.解:（1） ，则 ，
得 ，即 ，
∴数列 是首项为2、公差为1的等差数列，∴ ，即 .
（2） ，∴函数 在点 N*）处的切线方程为：
，令 ，得 ．
，仅当 时取得最小值，
只需 ，解得 ，故 的取值范围为 ．
（3） ，故 ，
，故 ，则 ，即 ．
∴
= ．
又 ，
故 ．
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