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阳光高考提供：广东省2013年5月六校高考模拟考试
数学(理科)试卷及其答案下载
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．满足的复数的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的定义域为，的定义域为，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图给出的是计算的值的一个程序框图，图中空白执行框内应填入（ ）
A． B．
C． D．
4．若变量满足则的最大值是（ ）
A．90 B．80
C．50 D．40
5．记等比数列的前项和为，若，，则 （ ）
A．2 B．6
C．16 D．20
6． 已知直线，，过的直线与分别交于，若是线段的中点，则等于（ ）
A．12 B． C． D．
7．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设，定义，则+2等于（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．
一年级 二年级 三年级
女生 373
男生 377 370
10．若则的值为 .
11．曲线在点（1，）处的切线方程为，则 ．（为常数）
12．已知，若是它一条对称轴，则 ．
13．如右图，等边△中，，则 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）曲线（为参数）上一点到点与的距离之和为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，在△中，斜边，直角边，如果以为圆心的圆与相切于，则⊙的半径长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数．
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设△的内角的对边分别为且，，若，求的值。
17．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这15天的数据中任取三天数据，记表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求的分布列；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。
18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，是边长为2的正三角形，平面ABC，平面平面ABC，BD=CD，且．
（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE；
（2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。
19．（本小题满分14分）数列{}的前n项和为，，．
（1）设，证明：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）若，．求不超过的最大整数的值。
20．（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。
（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；
（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；
（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）已知函数，
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设正实数满足．求证：
．
2013届高三六校高考模拟考试
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C D B B A
1．【解析】．故选D．
2．【解析】，．故选C．
3．【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2013，所以应填入．故选D．
4．【解析】画出可行域（如图），在点取最大值．答案： C．
5．【解析】，
．故选D ．
6．【解析】设、，所以、．
所以．故选B．
7．【解析】如图，四棱锥．
．故选B．
8．【解析】设终边过点的角（不妨设）则
，其中是终边过的角（不妨设）．
当时，有+2．故选A．
二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
9．16，10．2，11．，12．，13．，14．，15．，
9．【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为．答案：．
10．【解析】．答案：．
11．【解析】．答案：．
12．【解析】由已知得，由代入得，
又，所以．答案：．
13．【解析】,
．
答案：．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．【解析】曲线表示的椭圆标准方程为，可知点，为椭圆的焦点，故．答案：．
15．【解析】连则，在中，,
．答案：．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．【解析】（1），…3分
则的最小值是， 最小正周期是；…………6分
（2），则，…………7分
,,所以，
所以，，…………9分
因为，所以由正弦定理得，……①…………10分
由余弦定理得，即……②………11分
由①②解得：，．…………12分
17．【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件，． ……………………4分
（2）依据条件，服从超几何分布：其中，的可能值为，其分布列为：……………………7分
……………………7分
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为，10分
一年中空气质量达到一级或二级的天数为，则~
，一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。12分
18．【解析】（1）分别取 的中点,连接
,则∥,∥,且，
因为，,为的中点，
所以,，
又因为平面⊥平面，
所以平面．……………3分
又平面,
所以∥，……5分
所以∥，且,因此四边形为平行四边形，
所以∥，所以∥，又平面，平面，
所以∥平面.…7分
（或者建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，计算即证）
（2）解法一:
过作垂直的延长线于,连接.
因为,,
所以平面,平面
则有.
所以平面,平面,
所以.
所以为二面角的平面角，
即. ……10分
在中，，则 ,.
在中，.
设，则,所以，又
在中,,即=，
解得，所以． ………………14分
解法二:
由（1）知平面，,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则,,
,，
,.
设平面的法向量
则所以
令, 所以 ，
……………………11分
又平面的法向量，
所以，
解得， 即．……………………14分
19．【解析】(1) 因为，
所以 ① 当时，，则，………………………………1分
② 当时，，……………………2分
所以，即，
所以，而，……………………4分
所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以．……………5分
（2）由(1)得．
所以 ①，
②，……………7分
②-①得：，……………8分
.………………10分
（3）由(1)知 ………………11分
，………13分
所以
，
故不超过的最大整数为．……………………………………………14分
20．【解析】（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则
，…………… 2分
又∵， …………… 3分
∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分
解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，
垂足为，则，
∴． ……………2分
又∵点为线段AF的中点，∴，……………3分
∴，
∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分
（2）设直线AB的方程为，，
由 ，
∴．……………5分
由，
， ……………6分
，故的外接圆圆心为线段的中点。
设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M ，
．……7分
8分
又，
．……………9分
（3），设，10分
则 ，设，则
……………11分
将代入可得： ． ①……………12分
由，
联立可得，②……………13分
联立①②可得 ，解得．
。 ……………14分
21．【解析】（1）
，…… 1分
由的判别式，
①当即时，恒成立，则在单调递增；…2分
②当时，在恒成立，则在单调递增； …3分
③当时，方程的两正根为
则在单调递增，单调递减，单调递增．
综上，当时，只有单调递增区间；
当时，单调递增区间为，；
单调递减区间为． …… 5分
（2）即时，恒成立．
当时，在单调递增，
∴当时，满足条件． …7分
当时，在单调递减，
则在单调递减，
此时不满足条件，
故实数的取值范围为． …… 9分
（3）由（2）知，在恒成立，
令 ，则 ， …… 10分
∴． …… 11分
又，
∴ ， ……13分
∴ ． ……14分
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