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湖北省黄冈市黄冈中学2013届高三五月第二次模拟考试

数学（文）试卷

1．如果复数 (其中 )的实部与虚部互为相反数，则 ＝(      )

 A．2  B．  C．  D． 1 

2．已知命题 ： ， ．则 是(      )

A． ，                B． ， 

C． ，               D． ， 

3．“ ”是“直线 垂直”的(      )

   A．充分不必要条件                         B．必要不充分条件

C．充要条件                               D．既不充分也不必要条件

4. 样本中共有5个个体，其中四个值分别为0，1，2，3，第五个值丢失，但该样本的平均

值为1，则样本方差为（　　 ）

　 A． 　　            B． 　             C． 　　            D．2

5．若函数 的图象如右图1，其中 为常数．则函数      

 的大致图象是（      ）

  

A．                B．               C．               D．

6．已知 若 ，则 （     ）    

A．           B．          C．           D． 

7．在平行四边形 中， 点 在 边上，  则 （        ） 

A．                  B． 1               C．                 D． 

8．设 , ，若 ， ，则 的最大值为(      ) 

   A．1           B．2         C．3      D．4

9．已知函数 是偶函数，且 ，当 时， ，

则方程 在区间 上的解的个数是（     ）                               

A．8                   B．9                  C．10                D．11 

10．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 是椭圆上一动点，圆 与 的延长线、 的延长线以及线段 相切，若 为一个切点，则（     ）

A．                               B．         

C．                               D． 与2的大小关系不确定．

11．一个学校高三年级共有学生600人，其中男生有360人，女生有240人，为了调查高三学生的复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为50的样本，应抽取女生            人．

12．在面积为1的正方形 内部随机取一点 ，则 的面积大于 的概率是_________．

13．已知集合 ，  ,且 ,则 _________．

14．执行如右下图所示的程序框图，若输入 ，则输出 的值为           ．

15．已知某几何体的三视图如下，则该几何体体积为            ．

                           

正视图                    侧视图               

 

俯视图

（第15题图）                                              （第14题图）

16．设 ，其中 满足约束条件 ，若 的最小值 ，则

（Ⅰ）k的值为             ；（Ⅱ） 的最大值为             ．

17．在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰是由6颗珠宝构成如图1所示的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成如图2所示的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成如图3所示的正六边形, 第五件首饰是由45颗珠宝构成如图4所示的正六边形, 以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,使它构成更大的正六边形,依此推断第6件首饰上应有__________颗珠宝；则第 件首饰所用珠宝总数为________________颗.(结果用 表示)

18．（本题满分12分） 

在等差数列 中， ，其前 项和为 ，等比数列 的各项均为正数， ，公比为 ，且 ．

（Ⅰ）求 与 ；

（Ⅱ）数列 满足 ，求 的前 项和 ．

19．（本题满分12分）

在如图所示的组合体中，三棱柱 的侧面 是圆柱的轴截面， 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点．

（Ⅰ）求证：无论点 如何运动，平面  平面 ；

（Ⅱ）当点 是弧 的中点时，求四棱锥 与圆柱的体积比．

20．（本题满分13分）

如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC．该曲线段是函数 时的图象，且图象的最高点为 ,赛道的中间部分为长 千米的直线跑道CD，且 // ；赛道的后一部分是以O为圆心的一段圆弧 ．

(Ⅰ)求 的值和 的大小；

(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个

“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在

半径OD上，另外一个顶点P在圆弧 上，求“矩形

草坪”面积的最大值，并求此时 点的位置.

 

21．（本题满分14分）

已知函数 的图象为曲线 , 函数 的图象为直线 ．

(Ⅰ) 当 时, 求 的最大值；

(Ⅱ) 设直线 与曲线 的交点的横坐标分别为  且 , 求证： ．

 

22．（本题满分14分）

抛物线 : 上一点 到抛物线 的焦点的距离为3， 为抛物线的四个不同的点，其中 、 关于y轴对称， ， ， ，

  ，直线 平行于抛物线 的以 为切点的切线．

（Ⅰ）求 的值；

（Ⅱ）证明： ；

（Ⅲ） 到直线 、 的距离分别为 、 ，且 ， 的面积为48，求直线 的方程．

选择填空：BAADD  CCBCB

11．20     12．       13．7      14．23          15．   

16．1 ，7              17．66,   

1．【解析】 ，故选B．

2．【解析】特称命题的否定是全称命题，故选A．

3．【解析】若直线 垂直，则 ，即 ，选A.

4. 【解析】有题意可得第五个值为  ，方差为 .选D.

5．【解析】由图1知 故选D．

6．【解析】   

 选C．

7．【解析】法一： .

法二：以 为原点， 所在的边分别为 建立平面直角坐标系，则 故选C．

8．【解析】由题意得： ，

 故选B．

9．【解析】由题意可得 ， 函数的周期是4， 可将问题转化为 与 在区间 有几个交点． 画图知，有10个交点,选C．

10．【解析】设圆C与直线 的延长线、 分别相切于点 则由切线的性质可知：  故选B．

11．【解析】 ．新课  标第 一  网

12．【解析】由题意知本题是一个等可能事件的概率，以 为底边，要使 的面积大于 ,则为 点到 的距离 ，∴概率为 

13．【解析】 ，  

14．【解析】 ，∴ ， ， ，∴ ， ， ，∴输出y，∴ ．

15．【解析】该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分 ，所以该几何体的体积为 ．

16．【解析】作出不等式组表示的平面区域，由题意可知直线  过点 

当直线 过点 时， 有最大值 

17．【解析】设珠宝数构成了一个数列{an}，则有a1＝1，a2＝a1＋5＝6，a3＝a2＋5＋4＝15，a4＝a3＋5＋2×4＝28，a5＝a4＋5＋3×4＝45，a6＝a5＋5＋4×4＝66，…，

an＝an－1＋5＋4(n－2)，所以an＝a1＋5(n－1)＋4[1＋2＋3＋…＋(n－2)]＝2n2－n.

18．【解答】（Ⅰ）设 的公差为 ，

因为 所以 解得 （舍）或 ， ．

 故   ， ．    

 （Ⅱ） ，

  ．

19．【解答】（Ⅰ）∵侧面 是圆柱的的轴截面， 是圆柱底面圆周上不与 、 重合的一个点，∴ ，

又圆柱母线 ^平面 ，  Ì平面 ，∴ ^ ，

又   ，∴ ^平面 ，

∵ Ì平面 ，∴平面  平面 ；

（Ⅱ）设圆柱的底面半径为  ，母线长度为 ，  

当点 是弧 的中点时， 

 ,

 ，   ∴ ． 

20．【解答】（Ⅰ）由条件，得 ， ．  ∵ ，∴ ．

    ∴ 曲线段FBC的解析式为 ．

    当x=0时， ．又CD= ，∴ ．

   （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ．当“矩形草坪”的面积最大时，

点P 在弧DE上，故 ．

设 ， ，“矩形草坪”的面积为

  

= ．

∵ ，故 取得最大值 ．

21．【解答】(Ⅰ) 

   

 单调递增， 单调递减，

 

(Ⅱ)不妨设 ，要证 ,

只需证    （﹡）

 ， ，

 ，

将（﹡）两边同乘以 得，

 ，

只需证 ，即证 ，

令 ， ，

只需证 ， ，

令   ，    ，

  在 单调递增．

  ，即 ，  在 单调递增．

  ，即 ，

  ．

22．【解答】（Ⅰ） |QF|=3=2+ ，    =2．    

（Ⅱ） 抛物线方程为 ， 

A( )， D( )， B( ) ，C( )，

   ， ，

 ，， ，

 ，

所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，  ．

（Ⅲ）设 ，

则m=n=|AD|sin ，  ，

  即 ，

把  与抛物线方程 联立得： ，

 ， ，同理可得 ，