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扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试文科
数学试题及其答案
全卷分两部分:第一部分为所有考生必做部分(满分160分,考试时间120分钟),第二部分为选修物理考生的加试部分(满分40分,考试时间30分钟).
注意事项:
1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.
2.第一部分试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.
3.选修物理的考生在第一部分考试结束后,将答卷交回,再参加加试部分的考试.
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案填写在答题卷相应的位置上)
1. 已知集合 ,则 ▲ .
2. 若复数 是实数,则 ▲ .
3. 已知某一组数据 ,若这组数据的平均数为10,则其方差为 ▲ .
4. 若以连续掷两次骰子得到的点数 分别作为点P的横、纵坐标,则点P在直线 上的概率为 ▲ .
5. 运行如图语句,则输出的结果T= ▲ .
6. 若抛物线 的焦点与双曲线 的右焦点重合,则双曲线的离心率为 ▲ .
7. 已知一个圆锥的底面圆的半径为1,体积为 ,则该圆锥的侧面积为 ▲ .
8. 将函数 的图象向左平移 个单位得到函数 的图象,若 在 上为增函数,则 最大值为 ▲ .
9. 已知O是坐标原点,点 ,若点 为平面区域 上的一个动点,则 的取值范围是 ▲ .
10. 数列 中, , ( 是常数, ),且 成公比不为 的等比数列,则 的通项公式是 ▲ .
11. 若对任意 ,不等式 恒成立,则实数 的范围 ▲ .
12. 函数 的图象上关于原点 对称的点有 ▲ .对.
13. 在平面直角坐标系 中,已知点 是椭圆 上的一个动点,点P在线段 的延长线上,且 ,则点P横坐标的最大值为 ▲ .
14. 从 轴上一点A分别向函数 与函数 引不是水平方向的切线 和 ,两切线 、 分别与 轴相交于点B和点C,O为坐标原点,记△OAB的面积为 ,△OAC的面积为 ,则 + 的最小值为 ▲ .
二、解答题:(本大题共6道题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分14分)
已知函数 .
(1)求 的最小正周期;
(2)在 中, 分别是 A、 B、 C的对边,若 , , 的面积为 ,求 的值.
16.(本小题满分14分)
已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AD⊥平面A1BC,其垂足D落在直线A1B上.
(1)求证:平面A1BC⊥平面ABB1A1;
(2)若 ,AB=BC=2,P为AC中点,求三棱锥 的体积。
17.(本小题满分15分)
某地区注重生态环境建设,每年用于改造生态环境总费用为 亿元,其中用于风景区改造为 亿元。该市决定建立生态环境改造投资方案,该方案要求同时具备下列三个条件:①每年用于风景区改造费用随每年改造生态环境总费用增加而增加;②每年改造生态环境总费用至少 亿元,至多 亿元;③每年用于风景区改造费用不得低于每年改造生态环境总费用的15%,但不得每年改造生态环境总费用的22%。
(1)若 , ,请你分析能否采用函数模型y= 作为生态环境改造投资方案;
(2)若 、 取正整数,并用函数模型y= 作为生态环境改造投资方案,请你求出 、 的取值.
18.(本小题满分15分)
椭圆 的右焦点为 ,右准线为 ,离心率为 ,点 在椭圆上,以 为圆心, 为半径的圆与 的两个公共点是 .
(1)若 是边长为 的等边三角形,求圆的方程;
(2)若 三点在同一条直线 上,且原点到直线 的距离为 ,求椭圆方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数 , ,( ).
(1)求函数 的极值;
(2)已知 ,函数 , ,判断并证明 的单调性;
(3)设 ,试比较 与 ,并加以证明.
20.(本小题满分16分)
设满足以下两个条件的有穷数列 为 阶“期待数列”:
① ;② .
(1)若等比数列 为 ( )阶“期待数列”,求公比 ;
(2)若一个等差数列 既是 ( )阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式;
(3)记 阶“期待数列” 的前 项和为 :
(ⅰ)求证: ;
(ⅱ)若存在 使 ,试问数列 能否为 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列;若不能,请说明理由.
参考答案
2013.05
1. 2. 3. 2 4.
5.625 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.3
13.
提示:设 ,由 ,得 ,
= = = ,
研究点P横坐标的最大值,仅考虑 ,
(当且仅当 时取“=”).
14.8
提示: ,设两切点分别为 , ,( , ),
: ,即 ,令 ,得 ;
令 ,得 .
: ,即 ,令 ,得 ;令 ,得 .
依题意, ,得 ,
+ = = = ,
= ,可得当 时, 有最小值8.
15. 解:(1)
4分
6分
(2)由 , ,
又 的内角, ,
, 8分
, , , 11分
, 14分
16.证:直三棱柱ABC-A1B1C1中,A A1⊥平面ABC,
∴A A1⊥BC,
∵AD⊥平面A1BC,
∴AD⊥BC,
∵A A1 ,AD为平面ABB1A1内两相交直线,
∴BC⊥平面ABB1A1,
又∵ 平面A1BC,
∴平面A1BC⊥平面ABB1A1
7分
(2) 由等积变换得 ,
在直角三角形 中,由射影定理( )知 ,
∵ ,
∴三棱锥的高为 10分
又∵底面积 12分
∴ = 14分
法二:连接 ,取 中点 ,连接 ,∵P为AC中点,
, , 9分
由(1)AD⊥平面A1BC,∴ ⊥平面A1BC,
∴ 为三棱锥P- A1BC的高, 11分
由(1)BC⊥平面ABB1A1 , 12分
, 14分
17.解:(1)∵ ,
∴函数y= 是增函数,满足条件①。 3分
设 ,
则 ,
令 ,得 。
当 时, , 在 上是减函数;
当 时, , 在 上是增函数,
又 , ,即 , 在 上是增函数,
∴当 时, 有最小值0.16=16%>15%,
当 时, 有最大值0.1665=16.65%<22%,
∴能采用函数模型y= 作为生态环境改造投资方案。 9分
(2)由(1)知 ,
依题意,当 , 、 时, 恒成立;
下面求 的正整数解。
令 , 12分
由(1)知 , 在 上是减函数,在 上是增函数,
又由(1)知,在 时, ,且 =16%∈[15%,22%],
合条件,经枚举 , ∈[15%,22%],
而 [15%,22%],可得 或 或 ,
由 单调性知 或 或 均合题意。 15分
18.解:设椭圆的半长轴是 ,半短轴是 ,半焦距离是 ,
由椭圆 的离心率为 ,可得椭圆 方程是 , 2分
(只要是一个字母,其它形式同样得分,)
焦点 ,准线 ,设点 ,
(1) 是边长为 的等边三角形,
则圆半径为 ,且 到直线 的距离是 ,
又 到直线 的距离是 ,
所以, , ,
所以
所以,圆的方程是 。 6分
(2)因为 三点共线,且 是圆心,所以 是线段 中点,
由 点横坐标是 得, , 8分
再由 得: , ,
直线 : , 12分
原点 到直线 的距离 ,
依题意 , ,所以 ,
所以椭圆的方程是 . 15分
19.解:(1) ,令 ,得 .
当 时, , 是减函数;
当 时, , 是增函数.
∴当 时, 有极小值 , 无极大值. 4分
(2)
= = ,
由(1)知 在 上是增函数,
当 时, ,
即 ,
∴ ,即 在 上是增函数. 10分
(3) ,由(2)知, 在 上是增函数,
则 ,
令 得, . 16分
20.解:(1)若 ,则由① =0,得 ,
由②得 或 .
若 ,由①得, ,得 ,不可能.
综上所述, .
(2)设等差数列 的公差为 , >0.
∵ ,∴ ,
∴ ,
∵ >0,由 得 , ,
由题中的①、②得 ,
,
两式相减得, , ∴ ,
又 ,得 ,
∴ .
(3)记 , ,…, 中非负项和为 ,负项和为 ,
则 , ,得 , ,
(ⅰ) ,即 .
(ⅱ)若存在 使 ,由前面的证明过程知:
, ,…, , , ,…, ,
且 … .
记数列 的前 项和为 ,
则由(ⅰ)知, ,
∴ = ,而 ,
∴ ,从而 , ,
又 … ,
则 ,
∴ ,
与 不能同时成立,
所以,对于有穷数列 ,若存在 使 ,则数列 和数列 不能为 阶“期待数列”.
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