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河南十所名校2013年高考理科
数学仿真试题卷下载 附答案详解
本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考生作答时，将答案答在答题卡上（答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效,考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复 数 ＝a－bi，则a＋b＝
A．1 B．3 C．－1 D．－3
2． 已知全集U＝{x∈Z｜ －9x＋8＜0}，M＝{3，5，6}，N＝{x｜ －9x＋20＝0}，则集合{2，7}为
A．M∪N B．M∩N C．CU（M∪N） D．CU（M∩N）
3．设x∈R，向量a＝（2，x），b＝（3，－2），且a⊥b，则｜a－b｜＝
A．5 B． C．2 D．6
4．一个几何体的三视图如图 所示，则这个几何体的体积为
A． B．16
C． D．
5．将函数f（x）＝sin（2x＋ ）的图象向右平移 个单位后得到函数y＝g（x）的图象，则g（x）的单调递增区间为
A．[2kπ－ ，2kπ＋ ] （k∈Z） B．[2kπ＋ ，2k π＋ ] （k∈Z）
C．[kπ－ ，kπ＋ ] （k∈Z） D．[kπ＋ ，kπ＋ ] （k∈Z）
6．如果执行下面的程序框图，输出的S＝240，则判断框中为
A．k≥15?
B．k≤16?
C．k≤15?
D．k≥16?
7．已知中心在坐标原点的双曲线C与抛物线 ＝2py
（p ＞0）有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且
AF⊥y轴，则双曲线的离心率为
A． B．
C． D．
8．已知实数x，y满足 如果目标函数z＝5x－4y的最小值为－3，则实数m＝
A．3 B．2 C． 4 D．
9．已知四面体ABCD中， AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2 ，AB⊥平面ACD，则四面体
ABCD外接球的表面积为
A．36π B．88π C．92π D．128π
10．设函数f（x）＝2 －2k （a＞0且a≠1）在（－∞，＋∞）上既是奇函数又是减函数，则g（x）＝ 的图象是
11．若直线y＝－nx＋4n （n∈N﹡）与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数为 （其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则 （a1＋a3＋a5＋…＋a2013）＝
A．1012 B．2012 C．3021 D．4001
12．定义在实数集R上的函数y＝f（x）的图象是连续不断的，若对任意实数x，存在实常
数t使得f（t＋x）＝－tf（x）恒成立，则称f（x）是一个“关于t函数”．有下列“关
于t函数”的结论：①f（x）＝0是常数函数中唯一一个“关于t函数”；②“关于 函
数”至少有一个零点；③f（x）＝ 是一个“关于t函数”．其中正确结论的个数是
A．1 B．2 C．3 D．0
第Ⅱ卷 非选择题
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题－第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题－第24题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知某化妆品的广告费用x（万元）与销售额y（百万元）的统计数据如下表所示：
从散点图分析，y与x有较强的线性相关性，且 ＝0．95x＋ ，若投入广告费 用为5
万元，预计销售额为____________百万元．
14．已知递增的等比数列{ }（n∈N﹡）满足b3＋b5＝40，b3•b5＝256，则数列{ }的前10项和 ＝_______________．
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为 －8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值为_________．
16．对于 （m，n∈N，且m，n＞2）可以按如下的方式进行“分解”，例如 的“分解”
中最小的数是1，最大的数是
13．若 的“分解”中最小的
数是651，则m＝___________．
三、解答题：解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，点（a，b）在直线4xcosB－ycosC＝ccosB上．
（Ⅰ）求cosB的值；
（Ⅱ）若 • ＝3，b＝3 ，求a和c．
18．（本小题满分12分）
某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编
写成茎叶图如图（单位：cm）：
若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．
（Ⅰ）如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少?
（Ⅱ）若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的
数学期望．
19．（本小题满分12分）
如图，平面四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝6，O为AC，BD的交点．将
四边形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，且BD＝3 ．
（Ⅰ）若M点是BC的中点，求证：
OM∥平面ABD；
（Ⅱ）求二面角A－BD－O的
余弦值．
20．（本小题满分12分）
设椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，且内切于圆 ＝9．
（Ⅰ）求椭圆C的方程 ；
（Ⅱ）过点Q（1，0）作直线l（不与x轴垂直）与该椭圆交于M，N两点，与y轴交于点R，若 ＝λ ， ＝μ ，试判断λ＋μ是否为定值，并说明理由．
21．（本小题满分12分）
已知函数g（x）＝ lnx－bx－3（b∈R）的极值点为x＝1，函数h（x）＝a ＋bx＋4b－1．
（Ⅰ）求函数g（x）的单调区间，并比较g（x）与g（1）的大小关系；
（Ⅱ）当a＝ 时，函数t（x）＝ln（1＋ ）－h（x）＋x＋4－k（k∈R），试判断函数t（x）的零点个数；
（Ⅲ）如果函数f（x）,f1（x）,f2（x）在公共定义域D上，满足f1（x）＜f（x）＜f2（x），那么就称f（x）为f1（x），f2（x）的“伴随函数”，已知函数f1（x）＝
（a－ ） ＋2ax＋（1－ ）lnx, f2（x）＝ ＋2ax，若在区间（1，＋∞）上，函数f（x）＝g（x）＋h（x）是f1（x）,f2（x）的“伴随函数”，求a的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，四边形ACED是圆内接四边形，延长AD与
CE的延长线交于点B，且AD＝DE，AB＝2AC．
（Ⅰ）求证：BE＝2AD；
（Ⅱ）当AC＝2，BC＝4时，求AD的长．
23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系,xOy中，曲线C1： ＝1，以平面直角坐标系xOy的原点O为 极点，x轴的正半 轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l：3cosθ－2sinθ＝ ．
（Ⅰ）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；
（Ⅱ）求C2上一点P到l的距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数f（x）＝｜x－m｜＋｜x＋6｜（m∈R）．
（Ⅰ）当m＝5时，求不等式f（x）≤12的解集；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
（17）解：（Ⅰ）由题意得 ，……………………………（1分）
由正弦定理得 ， ， ，
所以 ，………………………………………（3分）
即 ，
所以 ，…………………………………………………（5分）
又 ，
所以 .………………………………………………………………………………（6分）
(Ⅱ）由 得 ，又 ，所以 .………………（9分）
由 ， 可得 ，
所以 ，即 ，………… …………………………………………………（11分）
所以 .…………………………………………………………………………（12分）
（18）解：（Ⅰ）根据茎叶图知，“生长良好”的有12株，“非生长良好”的有18株.
…………………………………… ……………………………………………………………（1分）
用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是 .…………………………………（2分）
“生长良好”的有 株，“非生长良好”的有 株.
用事件 表示“至少有一株‘生长良好’的被选中”，则
因此从5株树苗中选2株，至少有一株“生长良好”的概率是 .……………………（6分）
（Ⅱ）依题意，一共有12株生长良好，其中 种树苗有8株， 种树苗有 4株，则 的所有可能取值为0，1，2，3，
………………………………………（9分）因此 的分布列如下：
X 0 1 2 3
…………………………………………………………………………………………(10分) 所以 .……………………………………（12分）
令 ，则 ，所以 .……………………………………（9分）
因为 , 所以 平面 .
平面 的法向量与 平行，
不妨取平面 的一个法向量为 ，
则 ，
又二面角 是锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .………………………………………………（12分）
（20）解：（Ⅰ）因为圆 的直径为6，依题意知 ，所以 ，……（2分）
又因为 ，所以 ，所以 ，…………………………………………（5分）
所以椭圆 的方程为 .…………………………………………………………（6分）
（Ⅱ） 是定值，且 .……………………………………………………（7分）
理由如下：
依题意知，直线 的斜率存在，故可设直线 的方程为 ，
设 ，由 消去 并整理，
得 ，
所以 ①， ②， …………………………………（9分）
因为 ，所以 ，
即 又 与 轴不垂直，所以 ，
所以 ，同理 ，………………………………………………………（11分）
所以 ，
将①②代入上式可得 ，即 为定值.……………………………………（12分）
（21）解：（Ⅰ）易知函数 的定义域是 ，且 ，……………（1分）
因为函数 的极值点为 ,
所以 ，且 ,
所以 或 （舍去）,…………………………………………………………………（2分）
所以 ， ，
所以当 时，函数 没有零点；
当 时，函数 有四个零点；
当 时，函数 有两个零点；
当 时，函数 有三个零点；
当 时，函数 有两个零点.…………………………………………………………（8分）
（Ⅲ） ，
在区间 上，函数 是 的“伴随函数”，则 恒成
综合①②可知 的取值范围是 .…………………………………………………(12分)
（22）解：(Ⅰ) 因为四边形 为圆的内接四边形,所以 ………（1分）
又 所以 ∽ ，则 .……………………………（3分）
而 ，所以 .…………………………………………………………（4分）
又 ，从而 ……………………………………………………………（5分）
(Ⅱ)由条件得 .……………………………………………………………（6分）
设 ，根据割线定理得 ，即
所以 ，解得 ,即 .……………………………………（10分）
（23）解：(Ⅰ) 由题意知，直线 的直角坐标方程为 .………………（2分）由题意得曲线 的直角坐标方程为 ，
所以曲线 的参数方程为 .………………………………（5分）
(Ⅱ) 设点 的坐标为 ，则点 到直线 的距 离为
，
所以当 时， .……………………………………（10分）
（24）解：（Ⅰ）当 时， 即 ，
当 时，得 ，即 ，所以 ；
当 时，得 成立，所以 ；
当 时，得 ，即 ，所以 .
故不等式 的解集为 .………………………………………（5分）
（Ⅱ）因为 ，
由题 意得 ，则 或 ，
解得 或 ,
故 的取值范围是 .…………………………………………………（10分）
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