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惠州市2014届高三第二次调研考试试题
数 学（文科）
本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1. 已知集合，集合，表示空集，那么（ ）
A． B． C． D．
2. 命题“存在实数，使”的否定为（ ）
A．对任意实数，都有 B．不存在实数，使
C．对任意实数，都有 D．存在实数，使
3. 双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4. 直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交且直线不经过圆心
C．相离 D．相交且直线经过圆心
5. 已知，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6. 函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
7. 已知等差数列的前项和为，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
8. 已知函数的部分
图像如图所示，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，给出下列4个命题：
①若 ②若
③若 ④若
其中真命题的序号为（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
10. 设是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合.则集合表示的平面区域是（ ）
A．三角形区域 B．四边形区域
C．五边形区域 D．六边形区域
二、填空题：（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）
（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11.复数的虚部为__________．
12.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为_________.
13.设变量满足约束条件，则的
最大值为_________.
（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系下，圆的圆心到直线的距离为 ．
15.（几何证明选讲选做题）如图，圆是的外接圆，过点的切线交的延长线于点，且，，则的长为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的最小正周期和最值；
（2）求函数的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）
对某校高一年级学生参加社区服务次数统计，随机抽去了名学生作为样本，得到这名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表如下：
（1）求出表中的值；
（2）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于次的学生中任选人，求至少一人参加社区服务次数在区间内的概率．
18.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥中，底面,
为的中点, .
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离。
19.（本小题满分14分）
已知数列的前项和是，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求适合方程 的正整数的值．
20.（本小题满分14分）
已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，若右焦点到直线的距离为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点、，当时，求的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知函数
（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，函数在区间内有唯一零点，求的取值范围；
（3）若对任意的，均有，求的取值范围．
惠州市2014届高三第二次调研考试试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号12345678910答案 1．，所以，选；
2．【解析】特称命题的否定为：对任意实数，都有，选；
3．【解析】由可知， 所以，离心率，选
4．【解析】圆心到直线的距离为 ，而圆的半径为， 距离等于半径，所以直线与圆相切，选；
5．【解析】由得，解得， 选；
6．【解析】要使解析式有意义，必须满足，解得，选；
7．【解析】，即，得，据等差数列前项和公式得，选
8．【解析】据五点法可得，解得，，选；
9．【解析】若则与的位置关系不能确定，所以命题①错误，
若，命题②正确，若两平面垂直于同一条直线，则这两平面平行，所以命题③正确，两直线同时平行于一个平面，这两条直线的位置关系不能确定，所以命题④正确，综上所述，选；
10．【解析】因为正三角形中心为正三角形的重心，重心为中线
的一个三等分点，如图所示，图中六边形
区域为集合所表示的平面区域，选。
二、填空题（本大题共5小题，第14、15小题任选一道作答，共20分） 12．．．．，可得虚部为；
12．【解析】第一次循环：； 第二次循环：；；
第三次循环：，；跳出循环，输出；
13．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，当目标函数对应的直线过点时；
的值最大，即；
14．【解析】化为普通方程为，可知圆心坐标为，化为普通方程为，；
15．【解析】据切割线定理可得，即，
解得或，舍去，所以。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16. （本小题满分12分）解…………………………3分
…………………………4分
当即时，取最大值2；…………5分
当即时，取最小值-2…………6分
（2）由， ………………………8分
得 ………………………10分
∴单调递减区间为. ………………………12分
17．（本题满分12分）（1），所以 ……………2分
又因为，所以 ……………3分， ……………4分（）内的学生为，参加社区服务的次数在内的学生为 ； ……………5分名学生的结果为：
共种情况 ； ……………8分内的情况有
，共种情况…10分内的概率为 . ……………12分（1）平面，平面，
所以 …………2分
中，，为的中点，
所以 …………4分
平面，平面，且，
所以平面………6分（）平面且平面
所以平面平面， ……………8分平面，
所以点到的距离即为点到平面的距离， ……………10分中，由 ……………11分 ……………13分到平面的距离为 . ………………………14分到平面的距离为， 据 ………8分，得………………………13分到平面的距离为 . ………………………14分（本小题满分1分）……………………1分
…………………2分
∴，
∴ …………………………………………5分
…………………………………6分
…………………………………………7分
（2），……………9分
…………………………………………11分
……13分
， …………………………………………14分，………………………….2分
则右焦点的坐标为， ………………………….3分
由题意得，解得，
故所求椭圆的标准方程为. ………………………….5分
（2）设、、，其中为弦的中点，
由，得…………………….7分
因为直线与椭圆相交于不同的两点，所以
即 ①， ………………………….8分
，所以，
从而 , ………………………….9分
所以， ………………………….10分
又，所以，
因而，即 ②， ……………………….11分
把②式代入①式得，解得， ………………………….12分
由②式得，解得， ………………………….13分
综上所述，求得的取值范围为. ………………………….14分
21．（本题满分14分），所以，得.………………2分，所以，得.………………3分所以， .………………4分时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增 ………………5分，可知在区间内有唯一零点等价于
或， .………………7分或. .………………8分，均有，等价于
在上的最大值与最小值之差 ……………10分（ⅰ） 当时，在上，在上单调递增，
由，得，
所以 .………………9分时，由得
由得或
所以，同理 .………………10分 当，即时，，与题设矛盾；
.………………11分 当，即时，恒成立；……………12分 当，即时，恒成立；
.………………13分的取值范围为. .………………14分
惠州市2014届高三第二次调研考试试题答卷 第1页 共10页
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