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2013～2014学年度第一学期期中考试
故， …13分[]
所以数列的前n项和． ……14分
16. 解：（1）因为a·b =2 + sinθcosθ = , 所以sinθcosθ = ，所以（sinθ +cosθ2 = 1+2sinθcosθ = ．
又因为θ为锐角，所以sinθ + cosθ = ．因为a∥b，所以tanθ = 2，所以sin2θ = 2sinθcosθ = = = ，cos2θ = cos2θ-sin2θ = = = — ．所以sin(2θ+ ) = sin2θ + cos2θ = = ．（1）时，, ……2分
由图象可知，的单调递增区间为． ……4分
（2），所以．……6分
当，即时，； ……7分
当，即时，． ……8分
． ……9分
（3）①当时，图象如图1所示．
由得． ……12分
②当时，图象如图2所示．
由得． ……14分
18. 解：（1）延长BD、CE交于点A，则，则．
． ……4分
（2）
……6分
当，即时，
． ……8分
（3）令， ……10分
则，
，令得，， ……12分
在上是减函数，在上是增函数，
，PQmax = 2， ……14分
此时，P点在B处，Q点在E处。 ……16分
19. 解：（1）由已知，，所以，
两式相减得，，解得， ……3分
又，解得， ……5分
故 ……6分
（2）由（1），知 ……7分
①， ……8分
，
……10分
故 ……11分
②假设在数列中存在三项（其中成等差数列）成等比数列，
则，即． ……13分
因为成等差数列，所以，（）代入上式得： ，（）[]
由（），（），得，这与题设矛盾． ……15分
所以，在数列中不存在三项（其中成等差数列）成等比数列．
……16分
20. 解：（1） ……2分
函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，
所以． ……4分[学科]
（2）因为，所以， ……5分
因为在区间上不单调，所以在（0，3）上有实数解，且无重根，，有=，（） ……6分
又当时有， ……7分
综上 ……8分
（3）∵，又，
∴，两式相减，得，
∴, ……10分
于是
． ……11分
．
要证：，只需证：
只需证：．令，化为 即可．，…14分
在（0，1）上单调递增， ……15分
，即．．
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