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玉溪一中201届试题班级
第卷（选择题，共分）
一、选择题本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.设集合{1，2}，则满足A∪B＝{1，2，3}的集合B的个数是
A. 1 B. 3 C. 4 D. 8
2.若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为
A. －2 B. 6 C. 4 D. －6
3.下列命题中是假命题的是
A.x∈(0，)，x＞sinx B. x0∈R，sinx0＋cosx0＝2
C.x∈R，3x＞0 D. x0∈R，lgx0＝0
4.函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内
A.没有零点 B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点 D.有无穷多个零点
5.已知数列{an}为等比数列，Sn是它的前n项和.若a2·a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝
A. 35 B. 33 C. 31 D. 29
6.如图，圆O：x2＋y2＝π2内的正弦曲线y＝sinx与x轴围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内投一个点A，则点A落在
区域M内的概率是
A. B. C. D.
7.函数y＝sin(ωx＋φ)（ω＞0且|φ|＜）在区间[，]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那么此函数图象与y轴交点的纵坐标为
A. B. C. D.
8.设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为
A. 1 B. C. D.
9.如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的
表面积为
A. 8π B. 6π C. 4π D. 2π
10.已知椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点.若C1恰好将线段AB三等分，则
A. a2＝ B. a2＝13 C. b2＝ D. b2＝2
11.已知函数f(x)＝ex＋x.对于曲线y＝f(x)上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形.
其中，正确的判断是
A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④
12.函数f(x)的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)≤f(x2)，则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f(0)＝0；②f()＝f(x)；③f(1－x)＝1－f(x).则f()＋f()＝
A. B. C. 1 D.
第卷（非选择题，共分）
二、填空题本大题小题，每题分，共分
13.二项式(x3－)5的展开式中的常数项为 .
14.若以双曲线－y2＝1的右顶点为圆心的圆恰与双曲线的渐近线相切，则圆的标准方程是 .
15.定义在实数上的函数f(x)＝的最小值是 .
16.设函数f(x)＝x2－1，对任意x∈[，＋∞)，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，则实数m的取值范围是 .
三、解答题本大题共小题，共分
17.（本小题满分12分）
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知＝ .
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若cosB＝，b＝2，求△ABC的面积S.
18.（本小题满分12分）
某地区举行一次
数学新课程骨干教师研讨会，共邀请15名使用人教A版或人教B版的教师，数据如下表所示：
版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342（Ⅰ）从这15名教师中随机选出2名教师，则这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是多少？
（Ⅱ）研讨会中随机选出2名代表发言，设发言代表中使用人教B版的女教师的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和
数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2
的正方形，AE＝EB，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求二面角B—AC—E的正弦值；
（Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.
20.（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝－x2＋ax－2.
（Ⅰ）求函数f(x)在[t，t＋2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象恰有一个公共点，求实数a的值.
21.（本小题满分12分）
设a≥0，函数f(x)＝[x2＋(a－3)x－2a＋3]ex，g(x)＝2－a－x－ .
（Ⅰ）当a≥1时，求f(x)的最小值；
（Ⅱ）假设存在x1，x2∈(0，＋∞)，使得|f(x1)－g(x2)|＜1成立，求a的取值范围.
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C的方程是p＝4，直线l的方程是psin(θ＋)＝3，求圆C上的点到直线l的距离的最大值.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
设函数f(x)＝|x－2a|，a∈R.
（Ⅰ）若不等式f(x)＜1的解集为{x|1＜x＜3}，求a的值；
（Ⅱ）若存在x0∈R，使f(x0)＋x0＜3，求a的取值范围.
玉溪一中201届试题
一、选择题本大题共1个小题，每小题分，共分.二、填空题本大题个小题，每题分，共分.－10； 14. (x－2)2＋y2＝； 15.－； 16.(－∞，－]∪[，＋∞).
三、解答题本大题共个小题，共分.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由正弦定理，设＝＝＝k，
则＝＝，
所以＝，
即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB，
化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C).
又A＋B＋C＝π，
所以sinC＝2sinA.
因此＝2.
（Ⅱ）由＝2得c＝2a.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB及cosB＝，b＝2，
得4＝a2＋4a2－4a2×.
解得a＝1，从而c＝2.
又因为cosB＝，且0＜B＜π，所以sinB＝，
因此S＝acsinB＝×1×2×＝ .
18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）从15名教师中随机选出2名共有种选法，
所以这2名教师恰好是教不同版本的男教师的概率是＝ .
（Ⅱ）由题意知，ξ的所有可能取值为0，1，2.
则P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝；P(ξ＝2)＝＝ .
故ξ的分布列为
ξ012P所以ξ的
数学期望Eξ＝0×＋1×＋2×＝ .
19.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵ BF⊥平面AEC，∴ BF⊥AE，
∵ 二面角D—AB—E为直二面角，
∴ 平面ABCD⊥平面ABE，
又BC⊥AB，∴ BC⊥平面ABE，∴ BC⊥AE，
又BF∩BC＝B，∴ AE⊥平面BCE.
（Ⅱ）连接BD交AC于点G，连接FG，
∵ 四边形ABCD为正方形，∴ BD⊥AC，
∵ BF⊥平面ACE，∴ BF⊥AC，
又BD∩BF＝B，∴ AC⊥平面BFG.
∴ FG⊥AC，∠FGB为二面角B—AC—E的平面角，由（Ⅰ）可知，AE⊥平面BCE，
∴ AE⊥EB，又AE＝EB，AB＝2，∴ AE＝BE＝，
在直角三角形BCE中，CE＝＝，BF＝＝＝，
在正方形ABCD中，BG＝，
在直角三角形BFG中，sin∠FGB＝＝＝ .
即二面角B—AC—E的正弦值为 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，在正方形ABCD中，BG＝DG，点D到平面ACE的距离等于点B到平面ACE的距离，而BF⊥平面ACE，则线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离，即为点D到平面ACE的距离.故点D到平面ACE的距离为＝ .
20.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）令f′(x)＝lnx＋1＝0得x＝，
① 当0＜t＜时，函数f(x)在(t，)上单调递减，在(，t＋2)上单调递增，
此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f()＝－；
② 当t≥时，函数f(x)在[t，t＋2]上单调递增，
此时函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最小值为f(t)＝tlnt.
（Ⅱ）由题意得，f(x)－g(x)＝xlnx＋x2－ax＋2＝0在(0，＋∞)上有且仅有一个根，即a＝lnx＋x＋在(0，＋∞)上有且仅有一个根，
令h(x)＝lnx＋x＋，则h′(x)＝＋1－＝＝(x＋2)(x－1)，
易知h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以a＝h(x)min＝h(1)＝3.
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）f′(x)＝[x2＋(a－1)x－a]ex＝(x＋a)(x－1)ex，
∵ a≥1， ∴ 当x∈(－∞，－a)时，f(x)递增，当x∈(－a，1)时，f(x)递减，当x∈(1，＋∞)时，f(x)递增.
∴ 函数f(x)的极大值点为x1＝－a，极小值点为x2＝1，
而f(1)＝(1－a)e≤0，f(－a)＝＞0，
令h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3，则其图象的对称轴为x＝＞－a，h(－a)＝a＋3＞0，
∴ 当x≤－a时，h(x)＝x2＋(a－3)x－2a＋3＞0，∴ f(x)＞0.
当x＞－a时，f(x)的最小值为f(1)＝(1－a)e≤0.
∴ f(x)的最小值是(1－a)e.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是[(1－a)e，＋∞)，当0≤a＜1时，f(x)在(0，＋∞)上的值域是(0，＋∞).
而g(x)＝2－a－x－≤3－a－2＝－a－1，当且仅当x＝1时，等号成立，
故g(x)在(0，＋∞)上的值域为(－∞，－a－1]，
∴ 当a≥1时，令(1－a)e－(－a－1)＜1，并解得a＞，
当0＜a＜1时，令0－(－a－1)＜1，无解.
因此，a的取值范围是(，＋∞).
22.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
解：以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，易得圆C的直角坐标方程是x2＋y2＝16，
直线l的直角坐标方程是y＋x－6＝0，
圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，
∴ 圆C上的点到直线l的距离的最大值为3＋4＝7.
23.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
解：（Ⅰ）由题意可得|x－2a|＜1可化为2a－1＜x＜2a＋1，
即，解得a＝1.
（Ⅱ）令g(x)＝f(x)＋x＝|x－2a|＋x＝，
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