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2014北京
西城一模理科
数学答案
数 学（理科） 2014.4
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，集合，，则集合（ ）（A）（B）（C）（D）2. 已知平面向量，，. 若，则实数的值为（ ）（A）（B）（C）（D）3．在极坐标系中，且与极轴平行的直线方程是（ ）（A）（B）（C）（D）4．执行如图所示的程序框，那么输出的a值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．下列函数中，对于任意，同时满足条件和的函数是（ ）（A）
（C）（B）
（D）
6． “”是“方程表示双曲线”的（ ）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
7．某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产. 第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元. 设该设备使用了年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（ ） （A）（B）（C）5（D）6
8. 如图，设为正四面体表面（含棱）上与顶点不重合的一点，由点P到四个顶点的距离组成的集合记为M，如果集合M中有且只有2个元素，那么符合条件的点P有（ ）（A） 4个（B）6个（C）10个（D）14个
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．．，其中，则______．. 若抛物线的焦点在直线上，则_____；的准线方程为_____．
11．12．表示的平面区域是一个四边形，则实数的取值范围是_______.
13. 科技活动后，3名辅导教师和他们所指导的3名获奖学生合影留念（每名教师只指导一名学生），要求6人排成一排，且学生要与其指导教师相邻，那么不同的站法种数是______. （用数字作答）
14．中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：
当时，函数的值域为；
，都有成立；
，函数的最大值都等于4.
其中所有正确结论的序号是_________.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．13分）
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. .
（Ⅰ）的大小；
（Ⅱ），，求△ABC的面积.
16．13分）
在某批次的某种灯泡中，随机地抽取200个样品，并对其寿命进行追踪调查，将结果列成频率分布表如下. 根据寿命将灯泡分成三个等级，寿命大于或等于500天的灯泡是优等品寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是正品.
寿命（天）频数频率2030050合计（Ⅰ）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；
（Ⅱ）某人从灯泡样品中随机地购买了个，如果这n个灯泡的等级恰好与按等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值
（Ⅲ）某人从这个批次的灯泡中随机地购买了个进行使用，若以上述频率作为概率，用X表示此人所购买的灯泡中次品的个数，求X的分布列和
数学期望.17．14分）
如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，是的中点，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：// 平面；
（Ⅲ）与平面所成的锐二面角的大小为，求的.
18．13分）
已知函数 其中．
（Ⅰ）当时，函数的图象在处的切线方程；
（Ⅱ），且，都有，求的取值范围19．14分）
已知椭圆，l与W相交于两点，与x轴、轴分别相交于、点，.
（Ⅰ）的方程为，求外接圆的方程；
（Ⅱ）判断是否存在直线，使得是线段的两个三等分点说明理由. 20．13分）
在数列中，. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为，并称为数列的项子列. 例如数列为的一个4项子列.
试写出的一个3项子列，并使为等差数列；
（）为的一个项子列，且为等数列，证明：满足；
（）为的一个项子列，且为等比数列，证明：.
．．．．．．．．．．
11． ．．．
注：第10题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．13分）
（Ⅰ）解：因为 ，
所以 ， ……………… 3分
又因为 ，
所以 . ……………… 5分
（Ⅱ）解：因为 ，，
所以 . ………………7分
由正弦定理 ， ………………9分
得 . ………………10分
因为 ，
所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 . ………………11分
故△ABC的面积. ………………13分
16．13分）
（Ⅰ）解：. ……………… 2分
：. ……………… 4分，
所以的最小值为． ……………… 6分的所有取值为. ……………… 7分， ……… 8分3个，可看成3次独立重复试验，
所以，
，
，
. ……………… 11分的分布列为：
0123………………12分的
数学期望，，. 请酌情给分）
17．14分）
（Ⅰ）证明：因为底面和侧面是矩形，
所以 ，，
又因为 ，
所以 平面， ………………2分
因为 平面，
所以 . ………………4分
（Ⅱ）证明：因为 ，
所以四边形是平行四边形.
连接交于点，连接，则为的中点.
在中，因为，，
所以 . ………………6分
又因为 平面，平面，
所以 平面. ………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）可知，
又因为 ，，
所以 平面. ………………9分
设G为AB的中点，以E为原点，EG，EC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴
如图建立空间直角坐标系，
设，则.
设平面法向量为，
因为 ，
由 得
令，得. ………………11分
设平面法向量为，
因为 ，
由 得
令，得. ………………12分
由平面与平面所成的锐二面角的大小为，
得 ， ………………13分
解得. ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ），其中， ……………… 2分，
又因为，
所以函数的图象在处的切线方程. ……………… 4分（Ⅱ），的图象，
配方得， ……………… 5分在上单调递增，在单调递减，且.
……………… 6分，且，都有成立，
所以 . ……………… 8分，的图象，
则 ，
令，解得. ……………… 9分随着变化时，和的变化情况如下：
↘↗即函数上单调减上单调增. ……………… 11分，且，都有成立，
所以 . ……………… 12分（即），
所以的取值范围. ……………… 13分．14分）
（Ⅰ）证明：因为的方程为，
所以与x轴，与轴. ……………… 1分
则的中点，，……………… 3分外接圆的圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为. ……………… 5分
（Ⅱ）解：结论：存在直线，使得是线段的两个三等分点.
理由如下：
由题意，设直线的方程为，，，
则 ，，……………… 6分
由方程组 得，……………… 7分
所以 ， （*）……………… 8分
由韦达定理，得, .……………… 9分
是线段的两个三等分点，线段的中点与线段的中点重合.
所以 ，………………10分
解得 .……………… 11分是线段的两个三等分点，.
所以，……………… 12分
即 ，
解得 .……………… 13分
验证知（*）成立.
所以存在直线，使得是线段的两个三等分点，此时直线l的方程为，或.……………… 14分20．13分）
（Ⅰ）解：答案不唯一. 如，，；……………… 2分
（），
所以 . ……………… 3分
若 ，
由为的一个项子列，
所以 .
因为 ，，
所以 ，即.
这与矛盾.
所以 .
所以 ， ……………… 6分，，
所以 ，即，
综上，得. ……………… 7分（）证明：由题意，设的公比为，
则 .
因为为的一个项子列，
所以 为正有理数，，.
设 ，且互质，）.
当时，
因为 ，
所以
，
，
所以 .……………… 10分
当时，
因为 中的项，且互质，
所以 ，
所以
.
因为 ，，
所以 .
综上， .……………… 13分
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