《高等代数》考试大纲

科目名称：高等代数                               

科目代码：834

一、 考试目的

本考试大纲适用于报考河南工业大学理学院数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。它的主要目的是测试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识，代数的思维方式，以及现代数学的思想和方法．要求考生具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。

二、考试的性质与范围

　　本考试是一种测试应试者综合运用所学的《高等代数》的知识的尺度参照性水平考试。考试范围包括高等代数的基本的概念，理论和方法，考察考生的理解、分析、解决代数问题的能力。

三、考试基本要求

　　1. 熟练掌握高等代数的基本概念、命题、定理；

　　2. 综合运用所学的高等代数的知识的能力

四、考试形式

　　闭卷

五、考试题型

　　计算题、证明题

六、考试内容（或知识点）

　　1.多项式

　　数域，一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式。

　　2、行列式

　　排列，n级行列式的定义和性质，行列式按一行（列）展开，克拉默（Cramer）法则，范德蒙行列式，拉普拉斯（Laplace）定理，k级子式。

　　3. 线性方程组

　　消元法，n维向量空间，线性相关性，向量组和矩阵的秩，线性方程组有解判别定理，线性方程组解的结构。

　　4. 矩阵

　　矩阵的概念，矩阵的线性运算、乘法、转置、方阵的幂与方阵的乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，矩阵的等价，分块矩阵乘法的初等变换，对称矩阵和反对称矩阵，正交矩阵，施密特正交化过程。

　　5. 二次型

　　线性替换，n元二次型，二次型的矩阵，标准型，规范形，惯性定理，正定（半正定）二次型。

　  6. 线性空间

　　集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构。

　 7. 线性变换

　　线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，线性变换的矩阵在某组基下的矩阵是对角矩阵的条件，线性变换的值域与核，不变子空间。

　  8. λ-矩阵

　　λ-矩阵的定义，λ-矩阵在初等变换下的标准型，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当（Jordan）标准形，最小多项式。

　  9. 欧几里得空间

　　定义与基本性质，标准正交基，同构，子空间，正交变换的定义和性质，对称变换的定义和性质。

七、参考书目

(1) 高等代数. 北京大学数学系. 高等教育出版社，出版年2003.

八、样卷(附后)

河南工业大学

2015年硕士研究生入学考试试题

考试科目： 837高等代数(A)                     共   2   页（第  1  页）      

注意：1、本试题纸上不答题，所有答案均写在答题纸上

      2、本试题纸必须连同答题纸一起上交。

一、（15分）计算行列式 。

二、（15分）设 是 矩阵， 是齐次线性方程组 的基础解系， 是齐次线性方程组 的一个解，证明：

  (1) 线性无关；

  (2)  的任意一个解可以由 线性表示。

三、（15分）已知 为3阶矩阵，且满足 ,其中 为3阶单位矩阵。

 证明 可逆； 若 ，求矩阵 。

四、（15分）已知 为4阶矩阵，若满足 ，且行列式 。

 求矩阵 的特征值； 证明矩阵 可相似对角化； 计算行列式 。

五、（15分）设有三元二次型 ，其矩阵 主对角线元素之和为 ，且满足 ，其中 。

（1）用正交变换化二次型为标准形,并写出所用正交变换；

（2）求此二次型； （3）求 。

六、（15分）设 与 分别是齐次线性方程组 与 的解空间,http://www.xuecan.net/其中 是 中的一组给定的满足       的数,证明： 。

七、（15分）若 是 阶矩阵,当有一个常数项不为零的多项式 ,使 ,则 的特征值一定全不为 。

八、（15分）设 ，求 。

九、（15分）设 是 维线性空间， 是 的子空间，如果 .

证明：存在线性变换  ，使 。

十、（15分）证明：如果 则 。